Да, прилагательное "горький" и существительное "горе" связаны. Они оба относятся к эмоциональному состоянию человека, выражающему глубокую печаль, горечь и скорбь. "Горький" описывает характер слез или чувств, а "горе" является существительным, обозначающим состояние печали и горя.