Кратко — как из набора красных смещений $z$ и измеренных величин стандартных свечей получить ограничения на параметры $\Lambda$CDM и альтернативы, и какие систематики критичны.
Что моделируем
- Из наблюдаемой пиковой видимой величины $m$ строим расстояние через модуль расстояния (distance modulus)
$$\mu =m-M,\mu =5{\log }_{10}\left(\frac{d_L}{10\mathrm{pc}}\right),$$ где $M$ — абсолютная величина (нюанс-параметр), а люминозное расстояние
$$d_L(z)=(1+z)c{\int }_0^z\frac{d{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}.$$ - Для $\Lambda$CDM
$$H(z)=H_0\sqrt{{\Omega }_m(1+z{)}^3+{\Omega }_k(1+z{)}^2+{\Omega }_{\Lambda }}.$$ - Для модели с динамической тёмной энергией с уравнением состояния $w(z)$ \[
H(z)=H_0\sqrt{\Omega_m(1+z)^3+\Omega_k(1+z)^2+\Omega_\mathrm{DE}\exp\!\left(3\int_0^z\frac{1+w(z')}{1+z'}dz'\right)\right)}.
\]
Частая параметризация CPL: $w(z)=w_0+w_a\frac{z}{1+z}$.
Процедура оценки параметров
1. Составить теоретический вектор ${\mu }_{\mathrm{th}}(z;\theta )$ для параметров $\theta$ (например $\{H_0,{\Omega }_m,{\Omega }_k,w_0,w_a\}$), учесть стандартизацию свечей (SNe):
$$\mu =m_B^{\ast }-M+\alpha x_1-\beta c$$ или другую формулу стандартизации (SALT2 и т.п.).
2. Сформировать функцию правдоподобия через ковариационную матрицу наблюдений $C$:
$${\chi }^2(\theta )=({\mu }_{\mathrm{obs}}-{\mu }_{\mathrm{th}}(\theta ){)}^T{C}^{-1}({\mu }_{\mathrm{obs}}-{\mu }_{\mathrm{th}}(\theta )).$$ 3. Оценить параметры методом максимального правдоподобия / байесовским MCMC (emcee, MultiNest и т.п.), маргинализуя по nuisance-параметрам (например $M,\alpha ,\beta$) или включая их с приорами. В ковариацию включать статистическую и систематическую компоненты.
4. Для альтернативной модели: включить дополнительные параметры (например $w_0,w_a$) или реконструировать $w(z)$ непараметрически (биннинг, PCA, Gaussian process). Сравнивать модели через байесовский фактор, AIC/BIC или кросс-валидацию.
Практические улучшения и проверки
- Совместный анализ с BAO, CMB, H(z) и слабым линзированием для разрыва параметрических вырожденностей (особенно $M$ vs $H_0$).
- Иерархическое байесовское моделирование для учета популяции свечей и несмежных систематик.
- Forward-modeling и end-to-end симуляции для оценки селекционных эффектов и смещений.
- Тесты устойчивости: разные подвыборки по красному смещению, по хостам, по инструментам; bootstrap/jackknife; ввод искусственных систематик.
Наиболее критичные систематические ошибки
- Фотометрическая калибровка (независимые зонды, нулевые точки): систематическая сдвигает весь $\mu (z)$ и фатальна для $H_0$ и ${\Omega }_{\Lambda }$.
- Стандартизация свечей (ошибки в $\alpha ,\beta ,M$, эволюция свойств SNe с $z$): может имитировать эволюцию тёмной энергии.
- Селективные эффекты / Malmquist bias и несовершенное знание функции отбора: искажает форма $d_L(z)$.
- Хост-галактические корреляции (масса/металличность): влияют на $M$ и его зависимость от $z$.
- Поглощение и коррекции (extinction, K‑corrections): спектральные шаблоны и ошибки в $K$-коррекции особенно важны при больших $z$.
- Низкозначимые красные смещения: peculiar velocities на малых $z$ дают заметную флуктуацию $d_L$.
- Гравитационное линзирование: увеличивает разброс и может дать систематический сдвиг на больших $z$.
- Неправильная оценка ковариационной матрицы и игнорирование корреляций между наблюдениями: занижает неопределённости.
- Контаминация выборки (не Ia SNe, неправильная классификация) и неоднородность данных (разные телескопы/фильтры).
Короткие рекомендации для надёжности выводов
- Включать систематики в ковариацию или как явные nuisance-параметры и маргинализовать.
- Делать совместные анализы с независимыми датасетами (CMB, BAO, H0 локальные) для устранения вырожденностей.
- Проводить end-to-end симуляции с моделью отбора.
- Отчитываться о корреляциях параметров и проверках устойчивости (разные калибровки, подвыборки).
- Для теста динамической тёмной энергии использовать несколько способов реконструкции $w(z)$ (CPL, бины, непараметрические методы) и сравнивать через байесовское доказательство.
Если нужно, могу дать короткий рабочий код-псевдосхему для вычисления ${\chi }^2$ и запуска MCMC или список приоритетных тестов для конкретного набора данных.