Модель и уравнения (коротко)
- Полная N‑тельная модель (рекомендуется при точном прогнозе):
$${\ddot{\mathbf{r}}}_i=-G\sum _{j\ne i}{m}_j\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^3}(i=\text{Солнце, планеты, крупные астероиды, малый объект})$$
- Если малый объект по массе пренебрежимо мал — гелиоцентрическая «ограниченная» модель (с учётом индукционного члена при гелиоцентрах):
$$\ddot{\mathbf{r}}=-G{M}_{\odot }\frac{\mathbf{r}}{r^3}-\sum _{p}G{m}_p\left(\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_p}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_p{|}^3}+\frac{{\mathbf{r}}_p}{r_p^3}\right)$$ (термин ${\mathbf{r}}_p/r_p^3$ — косвенный член при переходе в неинерциальную систему).
- Для анализа малых изменений удобны уравнения Гаусса для осциллирующих элементов (пример, для $a$):
$$\frac{da}{dt}=\frac{2}{n\sqrt{1-e^2}}\left(eR\sin f+T(1+e\cos f)\right)$$ где $R,T$ — радиальная и поперечная составляющие возмущающего ускорения, $n=\sqrt{G{M}_{\odot }/a^3}$.
- При близком сближении полезна импульсная (гиперболическая) аппроксимация: угол отклонения и приращение скорости
$$\theta =2\arctan \frac{G{M}_p}{b{v}_{\infty }^2},\Delta v\sim \frac{2G{M}_p}{b{v}_{\infty }}$$ где $m_p$ — масса возмущателя, $b$ — параметр столкновения (impact parameter), $v_{\infty }$ — относительная скорость на большом удалении.
Оценка влияния на орбиту (пример: связь $\Delta v$ и $\Delta a$ для почти круговой орбиты):
$$\Delta a\approx \frac{-2a^{2}v\Delta v}{G{M}_{\odot }},v\approx \sqrt{\frac{G{M}_{\odot }}{a}}$$ (модульно: больше $\Delta v$ — заметнее смена полуоси; формула даёт порядок величины).
Что включать в модель для надёжного прогноза на 100 лет
1. Гравитационные возмущения
- Солнце + все планеты (с точными эпhemerides, напр. DE440).
- Крупные астероиды (как минимум: Ceres, Vesta, Pallas и сам возмущатель). При необходимости добавить десятки наиболее массивных тел в Главном поясе.
- Учесть косвенные члены при переходе в гелиоцентрическую систему.
2. Негравитационные силы (могут быть существенны за 100 лет для малых тел)
- Yarkovsky (требует: размер, плотность, термические параметры, ось и скорость вращения, альбедо).
- Солнечное давление (площадь/масса, коэффициент отражения) — обычно для очень мелких объектов.
- Возможные выхода массы/выбросы (если кометоподобное поведение).
3. Релятивистские поправки — в общем малы, но добавить для полноты.
4. При моделировании близких проходов — численное интегрирование с высоким порядком, адаптивным шагом, и включением вариационных уравнений (для ковариации).
Какие данные нужны (и зачем)
- Начальные state‑векторы/осциллирующие элементы для малого тела и всех существенных возмущателей с ковариационными матрицами (ошибки): для долгосрочного прогноза критична начальная неопределённость.
- Масса (или гравитационный параметр $GM$) возмущателя: чем ближе подход и чем меньше расстояние $b$, тем точнее нужна масса. Для подходов на несколько радиусов астероида требуется точность массы порядка нескольких процентов; для дальних подходов — десятки процентов могут быть достаточны.
- Эпhemerides планет и больших астероидов (точные табличные эфемериды, включающие массовые параметры).
- Размер, плотность или оценка массы малого тела (для эффекта Yarkovsky и реакции на столкновения).
- Тепловые и вращательные параметры малого тела (для моделирования Yarkovsky): период вращения, ориентация оси, теплопроводность, теплоёмкость, альбедо, плотность.
- Наблюдательные данные (астрометрия, радиолокация, фотометрия) для регулярного обновления орбиты; исходная плотность наблюдений должна обеспечить малую формальную ошибку положения к началу интеграции.
- Для численной реализации: вариационные уравнения (или численный метод Монтекарло/клонирования) для распространения ковариации и оценки чувствительности.
Практические рекомендации
- Использовать многотельную интеграцию с вариационными уравнениями и возможностью добавлять/удалять возмущатели.
- Для оценки неопределённости применять ансамблевое моделирование (клоны по ковариации) и/или фильтрацию при поступлении новых наблюдений.
- Для близких подходов применять детальную локальную модель (включая форму тела и нерегулярности массы, если очень близко).
- Если возмущение ожидается значительным (существенное $\Delta v$), инвестировать в измерение массы возмущателя (радар, гравиметрические измерения от прохождения аппарата или точная астрометрия спутников/сателлитов) и в термальные/ротационные параметры малого тела.
Краткая итоговая формула оценки порядкового влияния одного сближения:
- ожидаемое приращение скорости порядка
$$\Delta v\sim \frac{2G{m}_p}{b{v}_{\infty }},$$ - и связанная смена полуоси порядка
$$|\Delta a|\sim \frac{2a^{2}v\Delta v}{G{M}_{\odot }}.$$
Эти оценки + перечисленные входные данные и численные методы позволят построить прогноз орбиты на 100 лет с контролируемой ошибкой; точность прогноза будет ограничена начальными ковариациями и знанием масс/негравитационных параметров.