Кратко и по существу — формулировка задачи, уравнения, шаги моделирования, критерии устойчивости и типичные предсказания.
Уравнения и резонансные переменные
- Уравнения движения (N‑тельная задача, в гелио- или планетоцентрических координатах):
$${\ddot{\mathbf{r}}}_i=-G\sum _{j\ne i}{m}_j\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^3}.$$ - Для изучения резонанса используют усечённые модели: планарная/пространственная ограниченная трёхтелая задача или возмущённый гамильтониан. Резонансное условие:
$$p{n}^{\prime }-qn\approx 0,$$ где $n,n^{\prime }$ — средние движения тела и возмущающего планетарного тела, $p:q$ — порядок резонанса.
- Резонансный угол (общий вид):
$$\varphi =p{\lambda }^{\prime }-q\lambda -(p-q)\varpi ,$$ для троянцев (1:1) часто:
$$\varphi =\lambda -{\lambda }_J,$$ и устойчивые точки соответствуют либрации около $\varphi \approx \pm 60^{\circ }$.
- В приближении «маятника» резонанс описывается гамильтонианом вида
$$H=\frac{1}{2}A(J-J_0{)}^2+B\cos \varphi ,$$ что даёт уравнение
$$\ddot{\varphi }+{\omega }^2\sin \varphi =0,\omega =\sqrt{AB}.$$ Отсюда вычисляют частоту либрации и ширину резонанса в действиях/полуоси.
Шаги численного моделирования
1. Постановка задачи и модель:
- Выбрать модель: полная N‑тельная, ограниченная трёхтельная, или усечённый гамильтониан.
- Включить дополнительные эффекты при необходимости: небесная механика (включая все крупные планеты), небепланетные силы (газовый диск, диссипация, Yarkovsky).
2. Начальные условия:
- Сеть по $(a,e,i,\varphi )$ или ансамбль Монте‑Карло вокруг резонансного центра (для троянцев: $a\approx a_J$, $\varphi$ вблизи $\pm 60^{\circ }$).
3. Численные методы:
- Для долгосрочной эволюции предпочтительны симплектические интеграторы (Wisdom–Holman, SABA), при тесных сближениях — адаптивные (IAS15, Bulirsch–Stoer) или регуляризация.
- Временной шаг: типично $dt\lesssim 0.05P$ (или $dt\le P/20$), где $P$ — орбитальный период тело/планеты; для симплектика шаг должен сохранять целостность энергии на длинных интервалах.
4. Длительность и пакет запусков:
- Для стабильности в семействе троянцев требуется $10^7-10^9$ лет (зависит от цели). Сделать большое число реализаций, скан по параметрам.
5. Диагностика и анализ:
- Следить за эволюцией $(a,e,i,\varphi )$, считать частоты (FFT), MEGNO, максимальный Ляпунов показатель $\lambda$, время Ляпунова $T_L=1/\lambda$, коэффициент диффузии в $a$ или действиях.
- Построить карты устойчивости в проекциях (например, $a$ vs $\varphi$, $e$ vs $i$).
Критерии устойчивости
- Либрация резонансного угла: устойчиво, если $\varphi$ либрирует с ограниченной амплитудой; циркуляция означает выход из резонанса.
- Ограниченная вариация полуоси и эксцентриситета: устойчивость если $|\Delta a|$ и $|\Delta e|$ остаются в пределах ширины резонанса $\Delta a_{\mathrm{res}}$.
- Малый Ляпунов показатель: если $\lambda$ низок и $T_L$ существенно больше целевого времени эволюции — траектория считаем регулярной.
- Отсутствие близких сближений с планетами/колоннами: минимальное расстояние выше порога.
- Частотный критерий: малая дисперсия собственных частот (frequency diffusion $\Delta \nu$ низок) указывает на долгосрочную стабильность.
Практические оценки (формулы и порядок величин)
- Резонансная ширина и частота либрации оцениваются через коэффициенты возмущения: в моделях «маятника»
$$\omega \sim \sqrt{AB},\Delta J\sim 4\sqrt{B/A},$$ а ширина в полуоси порядка $\Delta a\sim a\sqrt{\mathrm{const}\times m^{\prime }/M_{\odot }}$ (где $m^{\prime }$ масса планеты).
- Ляпунов‑время даёт шкалу для хаотической диффузии; если $T_L\ll$ целевое время моделирования — ожидается выпадение из резонанса на соответствующих временных масштабах.
Какие предсказания можно получить
- Карты устойчивости: области «троянских» (tadpole) и «horseshoe», зависимости устойчивости от $e,i$ и амплитуды либрации.
- Долгоживущие траектории: низко‑эксцентные, низко‑наклонённые тела вблизи центров либрации (для троянцев около $\pm 60^{\circ }$) с малыми амплитудами либрации; эти траектории дают миллионы–миллиарды лет жизни.
- Влияние возмущений: вторичные резонансы, близкие планеты и диссипативные силы создают зоны хаоса и ускоряют миграцию/выпадение.
- Миграция и захват: при медленной дрейфовой миграции планеты (или дрейфе полуоси малых тел, напр. Yarkovsky) можно оценить вероятность захвата в резонанс через сравнение скорости дрейфа $\dot{a}$ с шириной резонанса и частотой либрации $\omega$.
- Оценка времени жизни: на основе статистики симуляций даётся распределение времён жизни $T_{\mathrm{surv}}$; из MEGNO/линейного анализа — предсказание о вероятности сохранения в течение заданного интервала.
- Для колец Сатурна: местоположения линбладовых/коротационных резонансов по условию
$$m(\Omega -{\Omega }_p)=\pm \kappa ,$$ где $\Omega$ — круговая частота, ${\Omega }_p$ — скорость возмущения (спутника), $\kappa$ — эпициклическая частота; моделирование даст положение волн, оценку торка и возможность образования щелей/волновых структур.
Итого: на практике вы строите ансамбль начальных условий в окрестности резонанса, интегрируете доступным симплектическим/адаптивным методом с шагом $dt\lesssim 0.05P$ на временные интервалы $10^7-10^9$ лет, контролируете резонансный угол $\varphi$, $(a,e,i)$, Ляпунов показатель $\lambda$ и частотную диффузию $\Delta \nu$. По результатам получают карты устойчивости, оценки времени жизни, вероятности захвата и скорости миграции для долгоживущих траекторий.