Метод в общих чертах: модельовать остатки времени прихода как сумма детерминированного сигнала (планета или непрерывная/стационарная низкочастотная ГВ), измерительного шума и астрофизического шума (красный шум, вариации дисперсии и т.п.), проводить совместную оптимизацию/маргинализацию параметров и оценивать доказательства сигнала через байесовское сравнение и частотные критерии с контролем ложных срабатываний.
1) Модель данных
Опишем вектор остатков $r$ как
$$r=s({\theta }_s)+n_{\mathrm{WN}}+n_{\mathrm{RN}}+n_{\mathrm{DM}}+M\delta ϵ,$$ где $s({\theta }_s)$ — модель сигнала (периодическая для планеты, синусоид/квазипериод для непрерывной ГВ или стохастическое поле для фоновой ГВ), $n_{\mathrm{WN}}$ — белый шум, $n_{\mathrm{RN}}$ — красный (коррелированный) шум, $n_{\mathrm{DM}}$ — хроматические (частотно-зависящие) вариации дисперсии, $M\delta ϵ$ — поправки к тайминговой модели. Шум задается ковариационной матрицей
$$C=C_{\mathrm{WN}}+C_{\mathrm{RN}}+C_{\mathrm{DM}}.$$
2) Газовый (вероятностный) критерий — вероятность/правдоподобие
При гауссовском шумах записываем правдоподобие
$$p(r|\theta )\propto \frac{1}{\sqrt{\det C}}\exp [-\frac{1}{2}(r-s(\theta ){)}^T{C}^{-1}(r-s(\theta ))].$$ Далее: оценка параметров через максимизацию или байесовскую постериорную $p(\theta |r)\propto p(r|\theta )p(\theta )$. Для теста наличия сигнала используем отношение правдоподобий (логарифм-отношение) или байесовский фактор
$$\Lambda =\frac{p(r|{\mathcal{H}}_1)}{p(r|{\mathcal{H}}_0)},\mathcal{B}=\frac{Z_1}{Z_0},$$ где $Z_i$ — маргинализованная вероятность (evidence) модели ${\mathcal{H}}_i$. Практические пороги: $\ln \mathcal{B}\gtrsim 3$ — заметное, $\ln \mathcal{B}\gtrsim 5$ — сильное; по Кассу/Рафтри — $\mathcal{B}>10$ существенное, $>100$ — решающее.
3) Поиск маломассивных планет (один-пульсарный сигнaл)
- Модель сигнала для простой планетной орбиты (квази-синусоид в остатковом времени): для низкой эксцентриситета
$$s(t)=A\sin (\frac{2\pi t}{P}+\varphi ),$$ где $A\sim (m_p/M_{\ast })\times a/c$ — амплитуда задержки, $P$ — период. Для общих орбит использовать полную кейплерову модель в таймингах.
- Статистика: взвешенный периодограмм / Generalized Lomb–Scargle с учётом ковариации (или оценка через байесовский поиск по $P,A,\varphi$). В частотной форме смотреть узкополосные пики в спектре остаточной мощности после моделирования красного шума.
- Критерии значимости: фальшивое уведомление оценивают с помощью имитаций шума (симуляции с теми же $C$) или bootstrap; посчитать p-value и/или байесовский фактор между моделями «шум» и «шум+период». Рекомендуется делать injection–recovery (вкладывать сигналы и проверять их восстановление).
- Защита от ложных источников: проверять хроматичность — планетный сигнал ахроматичен (не зависит от частоты при TOA), тогда как DM-эффекты изменяются как ${\nu }^{-2}$. Проверять стабильность фазы и амплитуды во времени и совместимость с кейплеровой моделью.
4) Поиск низкочастотных гравитационных волн (стационарный фон)
- Модель стохастического фона: перекос мощности по частоте описывают спектром плотности мощности фонового сигнала $S_h(f)=A_{\mathrm{GWB}}^2(f/f_{\mathrm{ref}}{)}^{-\gamma }$ (для популяции SMBH бинаров $\gamma \approx 13/3$).
- Межпульсарные корреляции: ключевой признак фоновой ГВ — пространственная кросс-корреляция по угловому расстоянию $\zeta$ между парами пульсаров, описываемая законом Хеллинса–Даунса. Для пары с углом $\zeta$:
$$\Gamma (\zeta )=\frac{3}{2}\left[\left(\frac{1-\cos \zeta }{2}\right)\ln \left(\frac{1-\cos \zeta }{2}\right)-\frac{1-\cos \zeta }{6}+\frac{1}{3}\right].$$ - Статистика обнаружения: оптимальная (кросс-)статистика для АПТ:
$$\hat{S}=\frac{{\sum }_{a\ne b}{r}_a^T{C}_a^{-1}{\tilde{S}}_{ab}{C}_b^{-1}{r}_b}{{\sum }_{a\ne b}\mathrm{tr}(C_a^{-1}{\tilde{S}}_{ab}{C}_b^{-1}{\tilde{S}}_{ba})},$$ где ${\tilde{S}}_{ab}$ — шаблон кросс-ковариации между пульсарами $a,b$ (пропорционально $\Gamma ({\zeta }_{ab})$ и спектру). Для байесовского подхода строится совместная модель всех пульсаров с компонентой фоновой ГВ с предиктом кросс-корреляции и сравнивают ${\mathcal{H}}_0$ (нет ГВ) и ${\mathcal{H}}_1$ (есть ГВ).
- Значимость: оценивается через распределение статистики под $H_0$ (оценивать через симуляции, «scramble the sky» — перестановка положений пульсаров для разрыва физической корреляции) и через байесовский фактор.
5) Разделение астрофизического шума от сигнала — практические приёмы
- Раздельное моделирование: включать в модель отдельные ГП (Gaussian process) для внутреннего красного шума каждого пульсара $P_{\mathrm{RN}}(f)=A_{\mathrm{RN}}^2(f/f_{\mathrm{ref}}{)}^{-{\gamma }_{\mathrm{RN}}}$ и для DM-вариаций $P_{\mathrm{DM}}(f)$ с хроматичностью $\propto {\nu }^{-2}$. Маргинализовать их параметры совместно с параметрами сигнала.
- Хроматичность: DM-эффекты зависят от частоты ($\propto {\nu }^{-2}$), ГВ и планеты — ахроматичны. Мультичастотные наблюдения позволяют отделить эти компоненты.
- Пространственная структура: фон ГВ даёт уникальную угловую зависимость (Hellings–Downs). Монопольные (синхронные для всех пульсаров) корреляции указывают на часовую ошибку (clock), диполь — на эпhemeris (солнечная система) ошибки; их можно моделировать как отдельные компонентные ГП (монополь/диполь) и маргинализовать.
- Проверки устойчивости: skyline-scrambles (перестановки небесных координат) и time-scrambles для контроля ложных уровней; injection–recovery; анализ подвыборок пульсаров; сравнение частотных и временных методов.
- Предотвращение утечек спектра: применять корректную обработку пропусков и окон (препроцессинг, префитинг тайминговой модели), предфильтрацию/преотжатие и использовать GP в временной области, чтобы не искажать низкие частоты.
6) Практическая процедура (сводно)
- 1) Сформировать тайминговые остатки и ковариационные оценки белого шума.
- 2) Моделировать/маргинализовать DM и красный шум по каждому пульсару (Gaussian processes).
- 3) Для планет: запускать периодические/кейплеровские поиски по отдельным пульсарам с учётом ковариации; оценивать значимость через симуляции.
- 4) Для фона ГВ: строить совместную модель всех пульсаров с кросс-корреляцией $\Gamma (\zeta )$; вычислять оптимальную статистику и/или байесовский фактор; проверять против монопольных/дипольных компонент.
- 5) Оценка значимости: p-value через симуляции/sky-scrambles, байесовский фактор; проверка хроматичности, стабильности и injection–recovery.
- 6) В случае недетекта — выдавать верхние пределы на амплитуду сигнала по заданному доверию (маргинализованно).
Краткие пороговые рекомендации: для байесовских решений использовать $\ln \mathcal{B}$ и вправду контролировать ложные срабатывания через симуляции; для частотных тестов требуются p-value $\lesssim 10^{-3}$ для уверенного открытия (в зависимости от числа испытаний).
Заключение: ключ — совместное (коэрентное) моделирование сигнала и всех важных компонент шума с использованием пространственной (Hellings–Downs) информации и частотной хроматичности для отделения источников; критерием обнаружения служат маргинализованные доказательства (байесовский фактор) и/или статистики с контролируемым p-value, подтверждённые имитациями и injection–recovery.