Краткий план метода и необходимые учёты.
1) Математическая формулировка и иерархическая задача
- Параметризуйте уравнение состояния (EOS) через набор гиперпараметров $\theta$ (спектральная параметризация, piecewise-polytrope или параметризация скорости звука). Для заданного $\theta$ решайте TOV и получайте функции $R(M;\theta )$, $k_2(M;\theta )$ и тензорное приливное деформирование $\Lambda (M;\theta )$, где
$$\Lambda (M)=\frac{2}{3}{k}_2(M){\left(\frac{c^{2}R(M)}{GM}\right)}^5.$$ - Для бинарной системы определите эффективный параметр приливного деформирования $\tilde{\Lambda }$:
$$\tilde{\Lambda }=\frac{16}{13}\frac{(m_1+12m_2)m_1^4{\Lambda }_1+(m_2+12m_1)m_2^4{\Lambda }_2}{(m_1+m_2{)}^5},$$ где ${\Lambda }_i=\Lambda (m_i;\theta )$.
- Иерархическая апостериорная вероятность для $\theta$ при наборе данных $D=\{d_i\}$ (GW- и EM-наблюдения) с учётом индивидуальных параметров ${\varphi }_i$ (массы, углы, дистанция, спины и т.д.):
$$p(\theta |D)\propto \pi (\theta )\prod _i\frac{\int p(d_i|{\varphi }_i)p({\varphi }_i|\theta )d{\varphi }_i}{\alpha (\theta )},$$ где $\alpha (\theta )=\int p_{\det }(\varphi )p(\varphi |\theta )d\varphi$ — поправка на селекцию (вероятность детекции) и $\pi (\theta )$ — априор EOS. В случае совместных GW+EM данных для события $i$:
$$p(d_i|{\varphi }_i)=p(d_{i,\mathrm{GW}}|{\varphi }_i)p(d_{i,\mathrm{EM}}|{\varphi }_i).$$
2) Статистические объединения событий
- Использовать полную иерархическую байесовскую комбинацию (не усреднения $\tilde{\Lambda }$). Склеивание постериоров через произведение скоррелированных полноразмерных правдоподобий или через ре-взвешивание семплов событий: для каждого семпла ${\varphi }_{i,j}$ оценивать ${\Lambda }_{1,2}({\varphi }_{i,j};\theta )$ и вычислять вклад в интеграл.
- Одновременно инферировать распределение масс/спинов популяции $p(m,q,\chi |\eta )$ с гиперпараметрами $\eta$, либо маргинализовать их, иначе смещения в массах приведут к смещению по $\Lambda$.
- Объединять BNS и NSBH события, если приливы измеримы (в NSBH прилив слабее, но полезен при больших SNR).
3) Многоволновые (multi-messenger) наблюдения — что и как включать
- Короткие гамма-всплески / после свечения (GRB, kilonova): дают ограничения на наклон/угол и на массу выброшенного материла $M_{\mathrm{ej}}$; сопоставление с моделями выброса даёт дополнительные ограничения на массовое соотношение и EOS (увеличивает точность оценки $\tilde{\Lambda }$ и расстояния).
- Рентгеновские/NICER измерения $R(M)$: включайте как независимый член правдоподобия $p(d_{\mathrm{X}}|R(M;\theta ))$.
- Радиопульсары с измеренной массой тяжёлых пульсаров вводят ограничение на максимальную массу $M_{\max }(\theta )$: требуйте $M_{\max }(\theta )\ge M_{\mathrm{obs}}^{\max }$ (включить как мягкий априор).
- Физика выброса (kilonova) используется через модели (симуляции) для связи $(m_1,m_2,{\Lambda }_{1,2})\to M_{\mathrm{ej}},v_{\mathrm{ej}}$; включать модел.неопределённости как шумовые параметры.
4) Необходимые систематические учёты (обязательно маргинализировать)
- Волновые формы и моделирование приливов: используйте несколько моделей (PN+tidal, EOB, NR-calibrated) и введите модельный гиперпараметр или marginal likelihood по моделям; добавьте смещение-термы для фазовой ошибки.
- Каллибрация детектора и неопределённость PSD: маргинализовать по калибровочным функциями и по параметрам PSD/шумовой модели.
- Селекционные эффекты и чувствительность сети (расчёт $\alpha (\theta )$ через инъекции в реальные/синтетические шумы).
- Систематики EM-моделей (несовершенство моделей kilonova/GRB): ввести доп. параметры невязки и широкие априоры.
- Априорная и параметризационная зависимость EOS: проверять несколько параметризаций (spectral, piecewise) и включать systématic prior uncertainty — либо маргинализировать по параметризации, либо оценивать джентльменский минимум систематич. смещения.
- Коррелированные систематики между событиями (например общая систематическая ошибка волновой формы) — моделировать как общую гиперпеременную смещающую фазу/амплитуду.
5) Практические рекомендации по реализации
- Порядок: выбрать параметризацию $\theta$ + априоры (включая chiral EFT на низких плотностях и требование причинности и максимальной массы), затем предвычислить сетку $\Lambda (M;\theta )$.
- Для каждого события использовать posterior samples от GW-анализа; либо пересчитать likelihood на сетке $\theta$ через reweighting: для каждого семпла ${\varphi }_{i,j}$ вычислить $p(d_i|{\varphi }_{i,j})$ (или использовать likelihood-коды) и интегрировать.
- Выполнять итерированный hierarchical sampling (nested sampling или MCMC), учитывать детекционные функции через инъекции.
- Проводить robustness checks: разные волновые формы, разные EOS-параметризации, отключение/включение EM-данных, posterior predictive checks, вычисление Bayes factors между классами EOS.
6) Оценка объёма данных / требуемое число событий (ориентиры)
- Статистический выигрыш примерно масштабируется как $\sim 1/\sqrt{N_{\mathrm{eff}}}$ при независимых событиях и одинаковом информативном вкладе. Практически: десятки хорошо измеренных BNS (SNR индивидуально ≳20–30, с чувствительностью к частотам ~1–2 kHz) или несколько (~10) высокосигнальных событий в сочетании с EM (kilonova/NICER) нужны, чтобы ограничить радиус NS (~1.4 M⊙) до ≲0.5–1.0 km. Меньшие наборы дадут правила общего характера (ограничения на $\tilde{\Lambda }$, давление при 1–2 $n_0$), но будут чувствительны к систематикам.
7) Выходные продукты и метрики надёжности
- Кредибилити-интервалы для $R(1.4M_{\odot })$, $P(\rho )$ при нескольких плотностях, $M_{\max }$.
- Постериорные предсказания $\Lambda (M)$ и сравнение с NICER/пульсарными ограничениями.
- Bayes factors/постериорная вероятность для классов EOS и отчёт о стабильности результатов при смене систематик.
Коротко: объединяйте события через иерархическую байесовскую модель с явной картой $\theta \to \Lambda (M)$, обязательно маргинализируйте по массам/спинам/селекции, включайте EM-ограничения и ядерно-физические априоры (chiral EFT), и моделируйте все крупные систематики (волновые формы, PSD/калибрация, модель kilonova). Проверяйте устойчивость результатов к параметризации EOS и к предположениям о шуме; для конкурентных (надёжных) пределов потребуется десятки информативных BNS или несколько высококачественных GW+EM событий.