Коротко — последовательность действий, ключевые приближения и ограничения, достаточные для практической реализации.
1) Предобработка данных и извлечение времен транзитов
- Подогнать модель транзита к каждому событию, одновременно моделируя тренд/шум (полиномы, GP) и оценив время центра $T_c$ и его неопределённость ${\sigma }_T$. Приближённая оценка фотовременной ошибки: ${\sigma }_T\sim \frac{T_{\mathrm{dur}}}{\mathrm{SNR}}$.
- Построить O–C (observed minus calculated) относительно линейного эфемериса: $O-C_n=T_{c,n}-(T_0+nP)$.
2) Первичная диагностика сигналов
- Спектральный анализ O–C выявляет частоты: суперпериод (резонансный) и синодический (chopping).
- Для двух планет, близких к первому порядку резонанса $j:(j-1)$ ввести параметр близости
$$\Delta \equiv \frac{P_2}{P_1}\frac{j-1}{j}-1,$$ и супер-период
Psup=∣1jP2−j−1P1∣≈P1j∣Δ∣. P_{\rm sup}=\left|\frac{1}{\frac{j}{P_2}-\frac{j-1}{P_1}}\right|\approx\frac{P_1}{j|\Delta|}.
Psup = P2 j −P1 j−1 1 ≈j∣Δ∣P1 . - Синодический период (chopping)
Psyn=∣11/P1−1/P2∣. P_{\rm syn}=\left|\frac{1}{1/P_1-1/P_2}\right|.
Psyn = 1/P1 −1/P2 1 .
3) Аналитические приближения (вблизи первого порядка резонанса)
- Для малых эксцентриситетов и небольшого $|\Delta |$ основной (резонансный) компонент TTV синусоиден с амплитудой, масштабируемой как $\propto m^{\prime }/M_{\ast }\cdot 1/|\Delta |$. Для внутренней планеты в простом приближении (по Lithwick, Xie & Wu 2012):
$$A\approx \frac{P_1}{\pi }\frac{m_2}{M_{\ast }}\frac{|f(j)|}{|\Delta |},$$ где $f(j)$ — числовая функция порядка единицы, зависящая от порядкового числа резонанса и лапласовых коэффициентов. Отсюда оценка массы возмущателя:
$$m_2\approx \frac{A\pi M_{\ast }|\Delta |}{P_1|f(j)|}.$$ - Для внешней планеты формулы аналогичны с заменой индексов.
- Чоппинг (синодическая сигнатура) имеет амплитуду порядка
$$A_{\mathrm{chop}}\sim P\frac{m^{\prime }}{M_{\ast }}\times O(1),$$ и не усиливается фактором $1/|\Delta |$. Поэтому наличие чоппинга помогает разорвать массу — эксцентриситетную дегенерацию (резонансный сигнал часто даёт комбинацию $m\cdot Z_{\mathrm{free}}$, где $Z_{\mathrm{free}}$ — свободная комплексная эксцентриситетная величина).
- Если эксцентриситеты ненулевые, TTV-фаза и амплитуда зависят от векторов $e\cos \varpi ,e\sin \varpi$; при больших $e$ аналитика ломается и требуется Н‑тело моделирование.
4) Полная методика определения параметров
- Шаг A — быстрые оценки: использовать вышеупомянутые аналитические формулы для определения возможного резонанса, порядка $\Delta$, оценки массы и предсказания $P_{\sup }$ и $P_{\mathrm{syn}}$.
- Шаг B — подробная подгонка N‑тел (тример N-body) к временам транзитов:
- Параметры: $P_i,T_{0,i},m_i/M_{\ast },e_i\cos {\varpi }_i,e_i\sin {\varpi }_i$ (или $\sqrt{e}\cos \omega ,\sqrt{e}\sin \omega$), наклонения/унитарные углы при необходимости.
- Использовать численную интеграцию (symplectic или Bulirsch–Stoer) для предсказания времен транзитов и вычисления функции правдоподобия с учётом ${\sigma }_T$ и возможных jitter-параметров.
- Выбор метода исследования пространства параметров: MCMC (emcee/HMC), nested sampling (MultiNest) — извлечение постериоров и корреляций.
- Шаг C — проверка устойчивости и ввод дополнительных данных: если доступны RV, TDV (изменения длительности транзитов) либо мультиинструментальные разности — включить их для разрывов вырожденностей (масса/эксцентриситет/наклон).
- Шаг D — валидация: injection–recovery (симуляции) и анализ устойчивости решения (Lyapunov, долгосрочная интеграция).
5) Основные вырожденности и ограничения
- Масса–эксцентриситетная вырожденность: резонансный TTV измеряет комбинацию $m$ и комплексного $Z$ (свободный эксцентриситет). Без чоппинга, TDV или RV эта вырожденность частично нерешаема.
- Покрытие супер-периода: если базовый период наблюдений $T_{\mathrm{obs}}$ меньше $P_{\sup }$, оценка амплитуды и фазы будет плохо ограничена → большая неопределённость в $m$ и $\Delta$.
- При $|\Delta |\to 0$ аналитика рушится: нелинейные эффекты, большие эксцентриситеты и потенциально хаотическое поведение требуют полных N‑тело расчётов; параметры могут стать сильно чувствительны к малым ошибкам в $T_c$.
- Шум и систематики:
- Белый шум увеличивает ${\sigma }_T$ и прямо увеличивает погрешность на $A$ и потому на $m$: из выражения для $m$ погрешность вследствие ${\sigma }_A$ оценивается как
$${\sigma }_m\approx \frac{\pi M_{\ast }|\Delta |}{P_1|f(j)|}{\sigma }_A.$$ - Коррелированный (красный) шум и ошибки детрендинга могут вносить искажения фазы/амплитуды TTV и смещать оценки. Требуется моделирование временной корреляции (GP) или резидульный bootstrap.
- Систематические смещения времен (инструментальные оффсеты, погрешности в часовых шкалах) приводят к общему смещению линейного эфемериса и могут маскировать низкочастотные сигналы — учитывать свободные оффсеты между наборами данных.
- Пропуски данных и нерегулярная выборка ухудшают доступ к гармоникам и увеличивают вероятность ложных периодических находок (spectral window).
- Ограничения модели:
- Аналитические формулы предполагают малые $e$ и малые массы по отношению к $M_{\ast }$; при больших массах/эксцентриситетах единственный корректный путь — полная N‑тело фитинг.
- Мультипланетные системы сложнее: присутствие третьего возмущателя может привести к сложным суммам периодов и дополнительные вырожденности.
6) Практические рекомендации
- Начать с O–C спектра, найти $P_{\sup }$ и $P_{\mathrm{syn}}$. Если есть чоппинг — получить грубую массу; если нет — использовать аналитические формулы для старта.
- Затем запустить N‑body MCMC с разумными априорными ограничениями (малые $e$, неплотная масса и т. п.), включив jitter и, при необходимости, GP для учета коррелированного шума.
- Оценить систематические ошибки через injection–recovery и разделение данных по инструментам; при сомнении получить RV или TDV для разрыва вырожденностей.
Краткие сводные формулы (важнейшие):
- Близость к резонансу:
$$\Delta =\frac{P_2}{P_1}\frac{j-1}{j}-1.$$ - Супер-период:
Psup=∣1jP2−j−1P1∣≈P1j∣Δ∣. P_{\rm sup}=\left|\frac{1}{\frac{j}{P_2}-\frac{j-1}{P_1}}\right|\approx\frac{P_1}{j|\Delta|}.
Psup = P2 j −P1 j−1 1 ≈j∣Δ∣P1 . - Резонансная амплитуда (первое приближение):
$$A\approx \frac{P_1}{\pi }\frac{m_2}{M_{\ast }}\frac{|f(j)|}{|\Delta |},m_2\approx \frac{A\pi M_{\ast }|\Delta |}{P_1|f(j)|}.$$ - Погрешность по массе от ошибки амплитуды:
$${\sigma }_m\approx \frac{\pi M_{\ast }|\Delta |}{P_1|f(j)|}{\sigma }_A.$$
Заключение: аналитические формулы дают быстрое интуитивное представление и стартовые оценки (особенно при наличии чоппинга), но для надёжных масс и орбитальных элементов почти всегда требуется детальный N‑body фит с моделированием систематик, оценкой покрытия супер‑периода и проверкой вырожденностей.