Краткая простая численная модель и её обоснование.
1) Основные уравнения (гидродинамика + самогравитация + охлаждение + источники):
- Уравнение непрерывности:
$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=-{\dot{\rho }}_{\mathrm{sink}}$$ - Уравнение движения:
$$\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}\otimes \mathbf{v}+P\mathbf{I})=-\rho \nabla \Phi +{\mathbf{S}}_{\mathrm{fb}}$$ - Уравнение энергии (внутренняя энергия или тотальная энергия):
$$\frac{\partial E}{\partial t}+\nabla \cdot [(E+P)\mathbf{v}]=-\rho \mathbf{v}\cdot \nabla \Phi -\rho \Lambda (T,n)+\Gamma +S_{E,\mathrm{fb}}-{\dot{E}}_{\mathrm{sink}}$$ - Уравнение Пуассона для гравитации:
$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho +4\pi G{\rho }_{\mathrm{sink}}$$ Здесь $\rho ,\mathbf{v},P,E$ — плотность, скорость, давление и энергия газа; $\Phi$ — потенциал; $\Lambda (T,n)$ — функция охлаждения (энергия/масса/время), $\Gamma$ — фоновое нагревание; ${\dot{\rho }}_{\mathrm{sink}},{\dot{E}}_{\mathrm{sink}}$ — перенос массы/энергии в "синковые" частицы; ${\mathbf{S}}_{\mathrm{fb}},S_{E,\mathrm{fb}}$ — силы и энергия звёздной обратной связи; ${\rho }_{\mathrm{sink}}$ — плотность синков (точечные массы).
2) Описание ключевых физических блоков и численных схем:
- Гидродинамика: решать уравнения с помощью консервативного схемы Godunov (Riemann-solver, например HLLC или Roe) либо SPH. Для сеточной реализации предпочтителен AMR (адаптивный разрез), высокоразрешённая схема (PPM) для уменьшения численной диффузии.
- Временная интеграция: явная схема со слоем операторного разложения (operator splitting) между гидро, гравитацией и охлаждением; шаг по CFL:
$$\Delta t\le C_{\mathrm{CFL}}\frac{\Delta x}{c_s+|\mathbf{v}|}$$ и дополнительно учесть ограничение по времени охлаждения $\Delta t\lesssim f_{\mathrm{cool}}{t}_{\mathrm{cool}}$, где $t_{\mathrm{cool}}=\frac{e}{\rho \Lambda }$.
- Самогравитация: решать уравнение Пуассона многосеточным (multigrid) или FFT (в периодических границах); на AMR — multigrid/MLMG.
- Охлаждение и нагрев: использовать табличную функцию $\Lambda (T,n)$, включающую молекулярное/атомное охлаждение и охлаждение по линиям CO/CI/H2, с явным интегрированием или субциклированием для быстрых охладительных процессов.
- Звёздно-подобные объекты (sink particles): вводить синки при выполнении условий:
- $\rho >{\rho }_{\mathrm{th}}$ (порог плотности),
- локальный минимум потенциала и сжимающееся течение ($\nabla \cdot \mathbf{v}<0$),
- масса в контрольном объёме превышает массу Джинса.
Массу/импульс переносить в синк с сохранением массы/импульса; аккреция по приближению (например, удаление газа внутри аккреционного радіуса $r_{\mathrm{acc}}$).
- Критерий формирования синков (Truelove): необходимо разрешать длину Джинса
$${\lambda }_J=\sqrt{\frac{\pi c_s^2}{G\rho }}$$ как минимум в $\gtrsim N_J$ ячеек (рекомендуют $N_J\ge 4$, лучше $N_J\ge 8$).
- Обратная связь от звёзд:
- Ионизация: простая модель — Strömgren-подобная зона или лучевая трассировка (ray tracing) с отводом энергии/перегрева газа в объёме; добавление тепловой энергии $\Delta E$ в клетки внутри радиуса $R_{\mathrm{ion}}$.
- Ветровая/радиационная сила: вводить импульсный источник $\Delta \mathbf{p}$ вокруг синка, либо модель радиационного давления (momentum injection).
- Сверхновые: при событии добавлять энергию $E_{\mathrm{SN}}$ (если разрешённая Sedov-Taylor фаза, вводить энергию как термальную; если неразрешённая — вводить соответствующий импульс). Типичная величина:
$$E_{\mathrm{SN}}\sim 10^{51}\mathrm{erg}$$ Если радиус взрыва меньше разрешения, использовать подрешеточный ввод конечного импульса $p_{\mathrm{SN}}$ вместо чисто термального.
- Радиация: для точности ионизации и нагрева использовать flux-limited diffusion (FLD) или простую лучевую трассировку; для упрощённой модели можно реализовать только термическую и кинетическую обратную связь.
3) Важные масштабы и условия разрешения:
- Разрешать Jeans-длина ${\lambda }_J$ (см. выше) и охладительную длину $l_{\mathrm{cool}}\sim c_s{t}_{\mathrm{cool}}$.
- Для корректной моделировки взрыва необходимо разрешать Sedov–Taylor радиус $R_{\mathrm{ST}}$ до момента, когда радиационное остывание начинает доминировать; если $\Delta x>R_{\mathrm{ST}}$, применять субсетки с импульсной постановкой энергии.
- Массовое разрешение: масса в ячейке $m_{\mathrm{cell}}=\rho \Delta x^3$ должна быть намного меньше типичной массы фрагмента (ядра), иначе возникает искусственная фрагментация.
- Рекомендация: проверять сходимость при изменении $\Delta x$, проводить тесты с $N_J=4,8,16$.
4) Основные аппроксимации и ограничения физики:
- Часто предполагается идеальный однофазный идеальный газ (EOS: $P=(\gamma -1)u$), без магнитных полей; это упускает влияние MHD на поддержку и перенос импульса.
- Химии упрощают: либо табличное охлаждение, либо упрощённая сеть реакций — не учитываются подробные реакции H2/CO/dust.
- Лучевая передача часто упрощается (FLD, объединённые лучи), что может неверно описать тень и узкие ионизационные фронты.
- Субсеть обратной связи: аккреция на синки, SN, импульсный ввод — эмпирические, зависят от разрешения.
- Отсутствие космических лучей, хемотермодинамики пыли, подробной радиационной переносимости — ограничивает точность температуры и химического состава.
- Погрешности численного метода: численная диффузия, искусственная вязкость (в SPH) и ошибки солверов Пуассона при AMR.
5) Практическая реализация — шаги:
- Установить начальные условия: облако массы $M$, радиус $R$, средняя плотность ${\rho }_0$, турбулентное поле с спектром (например, Kolmogorov) и rms-скоростью; или изолированное облако/периодическая коробка.
- Выбрать сетку AMR с базовым $\Delta x$ и критериями на рефайн по ${\lambda }_J$ и градиентам.
- Реализовать sink-партиклы, охлаждение, солвер Пуассона, обратную связь.
- Провести тесты: изотропное сжатие, седов-тейлор взрыв, стабильность Джинса, HII-расширение.
6) Верификация и сравнение с наблюдениями:
- Верификация модели:
- Кодовые тесты: Sod shock tube, Sedov–Taylor, Gresho, collapse тест Bonnor–Ebert, expansion of HII region.
- Консервация массы/импульса/энергии (с учётом sink и источников).
- Сходимость при уменьшении $\Delta x$.
- Сравнение с наблюдениями (параметры для проверки):
- Системная скорость звёздообразования: коэффициент эффективности на свободном падении ${ϵ}_{\mathrm{ff}}$ — сравнить с наблюдаемыми ${ϵ}_{\mathrm{ff}}\sim 0.01\text{–}0.1$.
- Массовая функция ядер/звёзд (CMF/IMF) — форма и сдвиг.
- Плотностное распределение (PDF column density): логнормальная форма + силовой хвост для самогравитирующейся массы.
- Масштабные законы Ларсона: зависимость дисперсии скоростей от размера.
- Размеры и морфология HII-пузырей, скорости всплесков/выбросов, массовые потоки газа.
- Синтетические наблюдения: создание карт излучения (CO, Halpha, FIR) через пост-обработку (радиационная передача, конверсия популяций молекул) и сравнение с реальными картами и линиями.
- Статистическая валидация: серия моделей с варьированием параметров (начальная турбулентность, массовая плотность, интенсивность обратной связи) и сравнение распределений параметров с наблюдаемыми ансамблями.
7) Практические рекомендации и типичные числа (в KaTeX):
- Порог для синков: ${\rho }_{\mathrm{th}}$ выбирают так, чтобы ${\lambda }_J({\rho }_{\mathrm{th}})$ был разрешён: ${\lambda }_J({\rho }_{\mathrm{th}})\gtrsim N_J\Delta x$.
- Энергия SN: $E_{\mathrm{SN}}\approx 10^{51}\mathrm{erg}$.
- Рекомендуемый минимум: $N_J\ge 4$ (лучше $8$), для надёжных результатов по фрагментации — проверить сходимость при $N_J$ увеличенном.
- CFL число: $C_{\mathrm{CFL}}\sim 0.3\text{–}0.8$.
Краткое резюме: модель строится на уравнениях гидродинамики с источниками (гравитация, охлаждение, обратная связь), решается методом Godunov/AMR или SPH с sink-частицами и подрешеточными моделями обратной связи. Главные ограничения — разрешение (Джинс, Sedov–Taylor), аппроксимации в химии и лучевом переносе, субсетки для feedback. Проверять модель следует и через численные тесты, и через сравнение синтетических наблюдений (SFR, IMF, PDF, HII-структуры, линии излучения) с реальными данными.