Кратко — по существу.
1) Сравнение возможностей (основные параметры)
- Частотные диапазоны:
- PTA: примерно $\sim 10^{-9}-10^{-7}\mathrm{Hz}$ (годовые и более длинные периоды).
- LIGO/Virgo/KAGRA: примерно $\sim 10-10^3\mathrm{Hz}$.
- Источники:
- PTA: стахастический фон от популяции сверхмассивных чёрных дыр (SMBHB), космические струны, некоторые модели ранней Вселенной.
- Наземные: фон от несвязанных компактных бинарных слияний (CBC), фоновая доля от фазовых переходов/инфляции в соответствующих масштабах.
- Чувствительность и интеграция:
- PTA чувствительны к очень малым частотам за счёт долгосрочных наборов данных; чувствительность растёт с числом пульсаров $N$ и временем наблюдений $T$ примерно как $\propto \sqrt{N(N-1)T}$ для кросс-корреляции.
- Интерферометры чувствительность растёт как $\propto \sqrt{T}$ при использовании кросс-корреляции между парами детекторов; эффективна оптимальная фильтрация спектров шумов.
- Геометрия/корреляция:
- PTA: уникальная пространственная «ножка» — функция Хеллингса-Дауна ${\Gamma }_{IJ}({\zeta }_{IJ})$ (угол между пульсарами) — ключевой верификационный признак.
- Интерферометры: перекрывающая функция (overlap reduction function) ${\gamma }_{12}(f)$ зависит от расстояния и ориентации детекторов; для больших разделений чувствительность на низких частотах падает.
2) Основные статистики (оптимальные оценители)
- Наземные (кросс-корреляция):
- статистика
$$Y={\int }_{-\infty }^{\infty }df{\tilde{s}}_1^{\ast }(f){\tilde{s}}_2(f)\tilde{Q}(f),$$ где ${\tilde{s}}_{1,2}$ — спектры сигналов, $\tilde{Q}(f)$ — фильтр.
- ожидание и дисперсия
$$⟨Y⟩=T\int df{\gamma }_{12}(f)S_h(f)\tilde{Q}(f),{\sigma }_Y^2=\frac{T}{2}\int df{P}_1(f)P_2(f)|\tilde{Q}(f){|}^2.$$ - оптимальный фильтр для заданного спектра фонa $S_h(f)$:
$$\tilde{Q}(f)\propto \frac{{\gamma }_{12}(f)S_h(f)}{P_1(f)P_2(f)}.$$ - PTA (тайминговые остатки):
- для остатка пульсара $I$ в частотной области ${\tilde{r}}_I(f)$ кроссповерхность
$${\hat{C}}_{IJ}(f)={\tilde{r}}_I^{\ast }(f){\tilde{r}}_J(f),$$ и в среднем
$$⟨{\hat{C}}_{IJ}(f)⟩={\Gamma }_{IJ}{S}_h(f),$$ где ${\Gamma }_{IJ}=\Gamma ({\zeta }_{IJ})$ — функция Хеллингса-Дауна. Оптимальный комбинационный фильтр аналогичен по форме наземному случаю с заменой ${\gamma }_{12}\to {\Gamma }_{IJ}$ и спектров шумов пульсаров.
3) Схемы отделения фона от систематики и индивидуальных событий
- Общие принципы:
- основное обнаружение — пространственно/геометрическое соответствие (Hellings–Downs для PTA; согласованность с ${\gamma }_{12}(f)$ и временной стационарностью для интерферометров);
- использовать кросс-корреляцию (внутренняя корреляция уменьшает вклад несвязанных инструментальных шумов).
- Конкретные тесты и верификация — для LIGO/Virgo/KAGRA:
- Time-slides: смещения временных рядов между детекторами, чтобы разрушить истинную корреляцию; оценивают статистику «ложного» фона и строят false-alarm rate.
- Null streams / комбинации: для сети $N\ge 3$ строят комбинации каналов, где ожидаемый гравитационный сигнал вычитается, оставляя инструментальные артефакты.
- Гейтирование и вето по качеству данных, классификация глитчей (Omicron, Gravity Spy) и удаление коротких некосинусных событий.
- Субтрактирование разрешённых индивидуальных CBC (используя каталоги и байесовский субстрактор); после удаления — повторная оценка спектра.
- Сравнение спектральной формы ${\Omega }_{\mathrm{GW}}(f)$ с модельными формами (например, параметрический закон мощности ${\Omega }_{\mathrm{GW}}(f)={\Omega }_{\alpha }(f/f_{\mathrm{ref}}{)}^{\alpha }$) и независимая проверка в разных поддиапазонах частот.
- Для PTA:
- Проверка Hellings–Downs: основной критерий — обнаружение квадратурной (угловой) зависимости ${\Gamma }_{IJ}(\zeta )$. Без неё общий «common red process» может быть систематикой.
- Моделирование и маргинализация над шумами отдельных пульсаров (тикание часов, ионносферные/дифференциальные DM, непреодолимое красное шумовое поведение каждой линии).
- Тесты на монопольную/дипольную корреляцию: часы дают монополь, эпhemeris — диполь; включать соответствующие шаблоны в модель и проверять Bayes-фактор против HD.
- Джекнайфы: исключение отдельных пульсаров или подмножеств, проверка устойчивости оценки.
- Шафлинг/смешивание углов: перестановки положений пульсаров или фазовые скремблинги для оценки ложных корреляций.
- Совместное байесовское моделирование: одномоментная модель, которая включает параметрический фон + набор индивидуальных источников (напр., непрерывные волны от близких SMBHB), чтобы предотвратить поглощение одиночных ярких источников в фон.
- Байесовская и частотная валидация:
- Байесовский выбор моделей (Bayes factor) между: шумовая модель, общий некоррелированный красный процесс, HD-коррелированный фон, фон+индивидуальные источники, фон+эпhemeris/clock errors.
- Частотный p-value и SNR, где фон ложных значений оценивается через time-slides (интерферометры) или через пермутации/симуляции шума (PTA).
- Дополнительные инструменты:
- Анизотропия и пространственный разложение (сферические гармоники) для проверки совместимости с изотропным фоном и поиска отдельных направлений.
- Инжекции «вслепую» в реальные данные для проверки восстановления и оценки систематик.
- Совместный анализ разных частотных диапазонов (PTA + LISA + наземные) для поиска согласованных физических моделей фонa.
4) Практический рабочий поток (коротко)
- Модель шума для каждого канала/пульсара → оценить спектры $P_i(f)$.
- Построить оптимальный кросс-корреляционный фильтр и получить оценитель и SNR ($Y$, ${\sigma }_Y$).
- Калибровать нулевое распределение: time-slides (интерферометры) / sky-permutations и джекнайфы (PTA).
- Байесовский тест моделей: вычислить Bayes-факторы между HD и альтернативами (монополь, диполь, некоррелированный фон, индивидуальные сигналы).
- Выполнить null-streamы, вето по качеству данных, субтрактирование/моделирование индивидуальных источников, инжекции.
- Требовать воспроизводимости: устойчивость результата при удалении подмножеств данных, при изменении спектральной модели, при разных приоритетах шумовых компонент.
Короткий вывод: PTA и наземная сеть дополняют друг друга по частотам и источникам. Метод обнаружения в обоих случаях основан на кросс-корреляции с оптимальным фильтром, но в PTA ключевой верификационный маркер — Hellings–Downs пространственная корреляция и тщательное моделирование индивидуального красного шума пульсаров; в наземных детекторах — time-slides, null-streamы, зачистка глитчей и субтрактирование ярких источников. Байесовская модельная селекция + частотные нулевые тесты и инъекции — стандарт для отделения реального фонa от систематических шумов и одиночных событий.