Кратко: метод открытия Нептуна — это решение обратной задачи гравитационного возмущения: наблюдаемые остатки (ресидулы) в движении известных планет сравнивали с моделью без нового тела, затем искали параметры гипотетического возмущателя, дающие те же остатки. То же (в современном виде) для Планеты Девять требует сочетания высок‑точной динамической модели, набора наблюдательных данных и статистического/численного решения обратной задачи. Ниже — пошагово, с ключевыми уравнениями и требуемыми инструментами.
1) Суть метода (как для Урана → Нептун)
- Наблюдения: астрометрические положения планеты в разные моменты → формируют остатки $r_{\mathrm{obs}}(t)-r_{\mathrm{model}}(t)$, где $r_{\mathrm{model}}$ — интегрирование известных тел без нового объекта.
- Теоретика: предполагают гипотезу о дополнительной массе $m^{\prime }$ на орбите с параметрами $\theta =(m^{\prime },a^{\prime },e^{\prime },i^{\prime },{\Omega }^{\prime },{\omega }^{\prime },M^{\prime })$.
- Движение точечно задаётся ньютоновским ускорением от нового тела:
$$\mathbf{a}(\mathbf{r},t)=-G{m}^{\prime }\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }(t;\theta )}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }(t;\theta ){|}^3}.$$ - Линейная приближённая подстройка (как в XIX в.): линеаризация отклонений по параметрам и решение нормальных уравнений (Gauss, Le Verrier). Современный аналог — минимизация суммы квадратов или байесовский вывод:
$$\mathcal{L}(D|\theta )\propto \exp \left(-\frac{1}{2}\sum _i\frac{(O_i-M_i(\theta ){)}^2}{{\sigma }_i^2}\right),P(\theta |D)\propto \mathcal{L}P(\theta ).$$
2) Какие данные нужны для проверки гипотезы «Планета Девять»
- Динамические данные:
- Точные эпhemerиды планет (JPL DE, INPOP) и их остатки; особенно чувствительны дальние планеты (Сатурн — Cassini радиорейндж).
- Орбиты транснептуновых объектов (TNO/KBO): элементарные элементы $a,e,i,\omega ,\Omega$, распределение аргументов перицентра и узлов.
- Длинная временная база позиций малых тел для выявления статистических аномалий (кластеры угловых элементов).
- Наблюдательные ограничения:
- Карты охвата и лимитные величины обзоров (Pan-STARRS, DES, WISE, Subaru): где объект уже не мог быть обнаружен.
- Фото‑физические ограничения (албедо $p$, радиус $R$) → связь с видимой величиной. Приблизительная формула для отражённой яркости:
$$F\propto p{R}^2/(r^2{\Delta }^2)\Rightarrow m\sim -2.5{\log }_{10}\left(\frac{p{R}^2}{r^2{\Delta }^2}\right)+\mathrm{const},$$ где $r$ — расстояние до Солнца, $\Delta$ — до наблюдателя.
- Систематики и ошибки: полная модель ошибок в наблюдениях и эпhemerидах.
3) Какие модели возмущений требуются
- Полно‑непосредственное N‑тельное интегрирование (солнце + все крупные планеты + гипотеза Планеты Девять) для получения точной динамики и резидуалов.
- Усреднённые (secular) модели для быстрого исследования параметрического пространства: усреднённый возмущающий потенциал (расширение в рядах, quadrupole/octupole) для дальнего массивного тела; для сильных эксцентриситетов нужны нелинейные (октупольные/Kozai‑типы) приближения.
- Линейная теория возмущений (Laplace–Lagrange) даёт оценки темпов прецессии, но неприменима для крупных $e^{\prime },i^{\prime }$; тогда используют численное усреднение или Hamiltonian‑модели высокого порядка.
- Для малых тел — моделирование захвата в резонансы и длиннопериодной секулярной динамики (симуляции распределений KBO).
Примеры масштабных оценок:
- Примерная скорость прецессии, индуцируемая отдалённой массой, масштабируется как
$$\dot{\varpi }\sim C\frac{n{m}^{\prime }}{M_{\odot }}{\left(\frac{a}{a^{\prime }}\right)}^3,$$ где $n$ — средняя угловая скорость тела с полуосью $a$, $a^{\prime }$ — полуось возмутителя, $C$ — размерный числовой коэффициент зависящий от геометрии усреднения.
4) Какие математические и статистические методы потребуются
- Обратная задача/оценка параметров:
- Минимизация невязок: Levenberg–Marquardt / Gauss–Newton для локальной подстройки.
- Байесовский вывод: MCMC / Nested Sampling для оценки постериорного распределения $\theta$ и вычисления отношения правдоподобий (Bayes factor) между моделями «с» и «без» планеты.
- Оценка чувствительности и ковариаций параметров (Fisher matrix, posterior covariance) — показывает масс/дистанционные вырождения.
- Статистика для кластеров KBO:
- Тесты на случайность (bootstrap, shuffling), Monte‑Carlo симуляции популяций с учётом селекции обзоров, вычисление p‑value для наблюдаемых кластеров.
- Численные методы:
- Высокоточные N‑body интеграторы (IAS15, Mercury, REBOUND) для динамики и долгосрочной устойчивости.
- Частотный анализ, Lyapunov‑экспоненты для оценки хаотичности.
- Гридовые/стохастические сканирования параметрического пространства с последующей локальной оптимизацией.
- Учёт наблюдательных ограничений: переопределение приорного распределения по не найденным областям неба (survey masks), конверсия массы/расстояния в ожидаемую видимую величину.
5) Практическая последовательность работ (порядок действий)
- 1) Собрать данные: обновлённые эпhemerиды планет, набор TNO орбит, карты не‑обнаружений и лимиты обзоров.
- 2) Построить базовую модель (N‑body без PD9) и вычислить остатки／аномалии.
- 3) Выбрать параметизацию гипотезы: $\theta =(m_9,a_9,e_9,i_9,{\Omega }_9,{\omega }_9,M_9)$.
- 4) Быстрый скрин через секулярные/усреднённые модели для отбора областей параметров, которые потенциально объясняют наблюдаемые аномалии (кластер KBO, прецессии).
- 5) Для выбранных кандидатов выполнить точные N‑body интеграции и вычислить предсказанные остатки для планет и TNO; сравнить с данными через вероятность/невязку.
- 6) Статистическая оценка: MCMC/nested sampling → постериорные распределения и доверительные интервалы; Monte‑Carlo для оценки ложных совпадений кластеров.
- 7) Проверки: стабильность орбит на сотни Myr/Gyr; соответствие ограничениям обзоров (непротиворечивость с не‑обнаружением в данных).
- 8) Итог: либо выделяются области параметров с ненулевым правдоподобием и согласованы с наблюдениями, либо гипотеза отвергается/ослабляется.
6) Ограничения и сложности
- Сильные вырожденности: масса/дистанция/наклонение могут иметь взаимные компенсации; многие комбинации дают похожие малые остатки.
- Селекционные эффекты наблюдений TNO — могут создавать иллюзию кластеров.
- Систематические ошибки в эпhemerides и радиометрии (Cassini) критичны для бедной статистики.
- Для больших эксцентриц/дальностей секулярные аппроксимации ломаются → требуется строгое численное моделирование.
Вывод: метод тот же, что и для Нептуна — сопоставление наблюдаемых возмущений с моделями нового возмущающего тела и решение обратной задачи — но сейчас это значительно сложнее: требуется сочетание точных N‑body интеграторов, секулярных приближений для скрининга, статистических методов (MCMC, байесовский вывод), моделирования селекционных эффектов обследований и проверки на наблюдательные пределы (видимая величина). Только такой многоканальный подход позволяет оценить реальность и вероятные орбиты гипотетической Планеты Девять.