Аналитика (CR3BP, равновесия Л4/Л5)
- Система и координаты: нормируем расстояние между первыми телами на $1$, пусть массы $m_1$ (звезда) и $m_2$ (планета), отношение масс $\mu =m_2/(m_1+m_2)$. В вращающейся системе центры масс в точках $x=-\mu$ и $x=1-\mu$. Точки Лагранжа $L_4,L_5$ находятся в вершинах равностороннего треугольника:
$$(x,y)=(\frac{1}{2}-\mu ,\pm \frac{\sqrt{3}}{2}).$$
- Линейная стабильность (Routh): при малых возмущениях характерное уравнение даёт условие стабильности треугольных точек
$$27\mu (1-\mu )<1,$$ что эквивалентно
$$\mu <{\mu }_c=\frac{1}{2}(1-\sqrt{\frac{23}{27}})\approx \mathrm{0.03852.}$$ Для системы «Солнце–Юпитер» $\mu \sim 9.54\times 10^{-4}\ll {\mu }_c$, значит линейно устойчиво.
- Частоты малых колебаний (малые амплитуды): средняя частота либрации по синодическому углу (для малых амплитуд)
$${\omega }_{\mathrm{lib}}\simeq n\sqrt{\frac{27}{4}\mu },$$ где $n$ — среднее движение планеты. Существуют две собственные частоты (длиннопериодная и короткопериодная моды); пересечение с вторичными резонансами даёт границы стабильной области.
- Нелинейная устойчивость: за пределами линейной области действуют вторичные резонансы (в том числе между частотами либрации и периодами пертурбаций), хаотическая диффузия, границы «тапдол/подкова» (tadpole/horseshoe). Доля сохранных троянов определяется амплитудой либрации, эксцентриситетом и наклоном.
Численный эксперимент (для приливных возмущений и миграции)
1) Цели: оценить выживаемость троянов при заданных сценариях приливов и миграции планеты, выявить критические скорости миграции и параметры приливов, определить изменения распределений амплитуд либрации, $e$, $i$.
2) Метод и ПО: интегратор симплектический с управляемыми не-консервативными силами (например REBOUND+WHFast с добавлением внешних сил или MERCURY с пользовательскими акселерациями). Для проверки чувствительности использовать высокоточные адаптивные схемы (IAS15) на подвыборках.
3) Модели внешних сил (параметризованные, практичные для численных серий):
- Миграция (экспоненциальная):
$$\dot{a}=-\frac{a}{{\tau }_a},\dot{e}=-\frac{e}{{\tau }_e},$$ реализуется в виде дополнительного ускорения (Papaloizou–Larwood):
$${\mathbf{a}}_{\mathrm{mig}}=-\frac{\mathbf{v}}{{\tau }_a}-2\frac{(\mathbf{v}\cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{r^2{\tau }_e}.$$ - Приливы (внутри планеты или между планетой и телом): параметризовать через $Q$ и $k_2$ или через временную задержку $\Delta t$; для простоты можно моделировать как дополнительное затухание эксцентриситета:
$${\tau }_{e,\mathrm{tide}}\sim \frac{Q}{k_2}\frac{m_p}{m_s}(\frac{a}{R_p}{)}^5{n}^{-1},$$ и применять эквивалентное $\dot{e}=-e/{\tau }_{e,\mathrm{tide}}$.
- Силы диска (если имитировать миграцию во время дисковой фазы): добавлять стохастические возмущения для моделирования турбулентности.
4) Сценарии и сетка параметров:
- Масса планеты: реальные значения (Юпитер) и массивные/легкие варианты.
- Времена миграции ${\tau }_a$: логшаг от $10^3$ до $10^7$ орбит (или лет — привязать к периоду планеты); рекомендую минимум три класса: быстрое (неадiabatic) ${\tau }_a\lesssim 10^3$ орб., умеренное \(\tau_a\sim10^4\mbox{--}10^5\), медленное (адиабатическое) ${\tau }_a\gtrsim 10^6$.
- Эксцентриситетное затухание ${\tau }_e={\tau }_a/K$ с $K\in [1,100]$ (часто $K\sim 10$).
- Приливный параметр $Q$ модельно: \(10^3\mbox{--}10^7\).
- Стохастическая сила: амплитуда/корреляционное время для моделирования турбулентности.
5) Начальные условия троянов:
- Генерировать ансамбль \(N\sim10^3\mbox{--}10^4\) тест-частиц вокруг $L_4$ и $L_5$.
- Распределение: равномерно в фазовом угле либрации $\varphi$ и в радиусе: малые амплитуды до больших (tadpole → horseshoe). Начальные $e$ и $i$ — сетка (0–0.2, 0°–40°).
- Контролировать, какая доля имеет амплитуду либрации $A<30^{\circ }$, $30^{\circ }-60^{\circ }$, $>60^{\circ }$.
6) Интеграция и диагностика:
- Время интегрирования: несколько \(\times\max(\tau_a,10^4\) орбит\()\), для приливных эффектов — до Gyr при необходимости.
- Шаг интегрирования: $\delta t\le T_{\mathrm{orb}}/20$ (или по требованию симплектического алгоритма).
- Метрики выживания: доля частиц, остающихся в «тадполе» (либрация вокруг $60^{\circ }$), доля захваченных в horseshoe, удалённых (ejection/collision), распределение $A$, $e$, $i$ во времени.
- Анализ: вычислять спектры (Fourier) для резонансного угла $\varphi =\lambda -{\lambda }_p$ (или ${\varphi }^{\prime }=\lambda -{\lambda }_p-60^{\circ }$), определять ${\omega }_{\mathrm{lib}}$, MEGNO или Ляпуновский показатель для оценки хаоса, построить карты (a,e) или (A,e) выживаемости.
7) Критерии перехода/разрушения:
- Адiабатичность: сохранение троянов при миграции ожидается, если миграция медленная относительно либрационной частоты:
$$\frac{\dot{a}}{a}\ll {\omega }_{\mathrm{lib}}\iff {\tau }_a\gg \frac{1}{{\omega }_{\mathrm{lib}}}\simeq \frac{1}{n}\sqrt{\frac{4}{27\mu }}.$$ - Если ${\tau }_a$ меньше этой величины, ожидается значительное увеличение амплитуд либрации и массовая потеря троянов.
- Сильные приливные/дисковые возмущения (коррелированная сила большой амплитуды) приводят к диффузии в фазовом пространстве и выходу частиц через резонансные слои.
Интерпретация наблюдаемых последствий
- Для систем, где условие линейной устойчивости выполнено ($\mu <{\mu }_c$), базовая вероятность существования троянов высокая; однако миграция и приливы могут их существенно изменить:
- Быстрая миграция (неадиабатическая) → массовая потеря троянов, расширение распределения амплитуд либрации, возможное превращение тадполов в horseshoe и затем утечка.
- Медленная (адиабатическая) миграция → большинство троянов выживают, но их либрация меняется предсказуемо (адиабатическое увеличение/уменьшение амплитуды по сохранению действия).
- Приливы и эксцентриситетное затухание обычно стабилизируют орбиты (снижают $e$), но если они сопровождаются сильным изменением $a$ или наклона, могут вызвать резонансные пересечения и потерю.
- Наблюдаемые сигналы:
- Асимметрия L4/L5 (численность и распределение по $A,e,i$) — может свидетельствовать о несимметричном ходе миграции или ретроградных эффектов (плотность выхода/захвата различна).
- Повышенные $e$ и $i$ у оставшихся троянов или широкое распределение амплитуд либрации → признак пережитой быстрой миграции/турбулентности.
- Отсутствие троянов у экзопланет с крупной $\mu$ или истории быстрой миграции — ожидание из модели.
- В транзитных наблюдениях — коорбитальные сигнатуры (временные сдвиги, дополнительные транзиты) и асимметричные события при захватывании/потере троянов.
Короткая инструкция для реализации эксперимента (шаги)
1. Выбрать интегратор (REBOUND+WHFast/IAS15).
2. Настроить набор сценариев $(\mu ,{\tau }_a,{\tau }_e,Q)$.
3. Сгенерировать ансамбли тест-частиц у $L_4$ и $L_5$.
4. Запустить серии интеграций, сохранять: $\varphi (t),a(t),e(t),i(t)$.
5. Проанализировать выживаемость, спектры $\varphi$, MEGNO, построить карты зависимостей от параметров.
6. Сопоставить с критерием адiabaticity и с аналитическими оценками ${\omega }_{\mathrm{lib}}$ и ${\mu }_c$.
Ключевые формулы, которые полезно вычислять в коде
- Критерий стабильности: $27\mu (1-\mu )<1.$ - Либрационная частота: ${\omega }_{\mathrm{lib}}\simeq n\sqrt{\frac{27}{4}\mu }.$ - Адiабатичность: ${\tau }_a\gg 1/{\omega }_{\mathrm{lib}}.$
Заключение (сжатое)
- Треугольные точки устойчивы при $\mu <{\mu }_c\approx 0.03852$. Нелинейные резонансы и внешние силы (приливы, миграция) могут сильно менять сохранность троянов: быстрые/сильные возмущения разрушают популяции, медленные — сохраняют их с предсказуемыми изменениями амплитуд. Предложенная схема численного эксперимента (модель миграции/приливов, ансамбли, метрики, проверка адiabaticity) позволяет количественно оценить эти эффекты и вывести наблюдаемые последствия (асимметрии, расширение распределений, массовые потери).