Масса планеты по третьему закону Кеплера.
Используем
$$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G(M+m)}\approx \frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM},$$ откуда
$$M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}.$$ Подставляя $a=5\times 10^8\mathrm{m},T=4\mathrm{дн}=345600\mathrm{s},G=6.6743\times 10^{-11}\mathrm{SI}$ получаем
$$M\approx \frac{4{\pi }^2(5\times 10^8{)}^3}{6.6743\times 10^{-11}(345600{)}^2}\approx 6.2\times 10^{26}\mathrm{kg}.$$ Это примерно $1.1$ массы Сатурна (порядок планеты-гиганта).
Устойчивость против приливных рассеяний и захвата/утраты спутника — анализ и оценки.
1) Roche‑предел (чтобы спутник не был разорван приливами планеты): для текучего спутника
$$d_R\approx 2.456R_p{\left(\frac{{\rho }_p}{{\rho }_s}\right)}^{1/3}.$$ При типичных значениях для газового гиганта $R_p\sim 6\times 10^7\mathrm{m}$, ${\rho }_p\sim 0.7g/c{\mathrm{m}}^3$, ${\rho }_s\sim 2g/c{\mathrm{m}}^3$ получим $d_R\sim 1\times 10^8\mathrm{m}\ll 5\times 10^8\mathrm{m}$. Значит орбита значительно дальше Roche‑предела — разрыва не будет.
2) Направление приливной эволюции (расширение или спад орбиты) определяется соотношением угловой скорости вращения планеты ${\Omega }_p$ и среднего движения спутника $n=2\pi /T$:
- если ${\Omega }_p>n$ (планета вращается быстрее, чем спутник обходит) — орбита будет расширяться;
- если ${\Omega }_p<n$ — орбита будет сокращаться и спутник может упасть и быть разрушен при прохождении Roche‑предела.
У газовых гигантов типичный период вращения $\sim 10$ часов, т.е. ${\Omega }_p$ обычно больше $n$ для $T=4$ суток, значит чаще — тенденция к выталкиванию спутника наружу.
3) Оценка характерного времени приливной миграции (приближённо, при приливах, действующих на планету):
$${\tau }_a\sim \frac{a}{|\dot{a}|}\sim \frac{Q_p}{3k_{2,p}}\frac{M}{m}{\left(\frac{a}{R_p}\right)}^5\frac{1}{n},$$ где $k_{2,p}$ — Love‑число планеты, $Q_p$ — её фактор добротности, $m$ — масса спутника. Для числовой оценки возьмём примерные параметры: $m\sim 10^{23}\mathrm{kg}$ (Titan‑порядок), $R_p\sim 6\times 10^7\mathrm{m}$, $k_{2,p}\sim 0.3$, \(Q_p\sim10^{4}\mbox{—}3\times10^{4}\). Тогда ${\tau }_a$ получается порядка \(\sim10^{9}\mbox{—}10^{10}\) лет (порядок миллиардов лет). Для более лёгкого спутника время будет ещё больше, для очень массивного — короче пропорционально $M/m$.
Выводы (кратко):
- Масса планеты порядка $6\times 10^{26}\mathrm{kg}$ (планета‑гигант, ~1× масса Сатурна).
- Орбита $5\times 10^8\mathrm{m}$ значительно дальше Roche‑предела при типичных плотностях — спутник не будет разрушен приливами немедленно.
- При типичных параметрах вращения газового гиганта (быстрое вращение) и разумных значениях $Q_p,k_{2,p}$ приливная эволюция даёт очень большие времена (Gyr), т.е. система устойчива на астрономические времена.
- Главный риск потери/захвата спутника связан с внешними факторами: малая сфера Хилла при близкой орбите планеты вокруг звезды (если планета близко к звезде, спутник может быть стёрт приливами звезды/стёрт из гравитации) либо очень большая масса спутника (ускорит эволюцию). Для окончательного вывода нужны: масса спутника $m$, радиус планеты $R_p$, параметры $k_{2,p},Q_p$ и расстояние планеты до звезды.