Кратко: методы сдвигались от геометрически‑описательных, эмпирически подогнанных моделей к строгим эмпирическим законам и затем к динамической теории, причём на примере ретроградного движения видно и методологический, и математический переход.
1) Птолемей (геоцентрическая, эпицентры/эпицикл/эквант)
- Модель: планета движется по малому кругу (эпициклу), центр которого движется по большему (деференту). В векторной форме (приближённо):
$r(t)=R(\cos \Omega t,\sin \Omega t)+r(\cos \omega t,\sin \omega t)$.
- Экувант: для согласования с наблюдаемыми неравномерными угловыми скоростями вводили точку экванта — угол считается равномерным относительно неё (ад‑hoc параметр).
- Объяснение ретроградного движения: когда составляющие движений складываются так, что производная проекции вдоль небесной долготы меняет знак, видна петля назад (в модели — замкнутые петли эпициркуляции).
- Верификация: подгонка параметров (R, r, ω, Ω и смещения экванта) по видимым положениям; цель — соответствие наблюдениям, не объяснение причины.
2) Коперник (гелиоцентризм с круговыми орбитами)
- Метод: та же геометрия кругов и униформного движения, но Солнце в центре; уравнение для угловых скоростей вдоль круга:
для внешней планеты видимая скорость по долготе приближённо $\dot{\lambda }={\omega }_p-{\omega }_e$.
- Объяснение ретроградности: при ${\omega }_e>{\omega }_p$ (Земля обгоняет внешнюю планету) $\dot{\lambda }<0$ — видимая ретроградность как явление относительного движения.
- Верификация: упрощение модели (меньше эпициркулей), но точность всё ещё ограничена круговыми допущениями.
3) Кеплер (эмпирические законы, данные Тихо Браге)
- Метод: опора на высокоточные наблюдения Тихо; эмпирическое нахождение форм орбит и законов.
- Законы:
- Орбиты — эллипсы с Солнцем в фокусе: $r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$.
- Закон площадей: $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\text{const}$.
- Гармонический закон: $T^2\propto a^3$.
- Объяснение ретроградности: то же геометрическое явление относительного движения, но переменная угловая скорость, заданная законом площадей, даёт точную форму петлей и асимметрию обходов, совпадающую с наблюдениями.
- Верификация: прямое совмещение теории с точными позициями; Кеплер отказался от коленчатых эпициркулей, улучшив соответствие до несколько минут дуги.
4) Ньютон (механика и гравитация — причинная теория)
- Метод: фундаментальные физические законы и математический анализ (дифференциальные уравнения) дают причинное объяснение. Уравнение движения для двух тел:
$m\ddot{r}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$.
- Выводы: из ньютоновской силы обратного квадрата следует сохранение моментa (площадной скорости) и траектории — конические с фокусом в центре тяжести; из этого выводятся законы Кеплера:
- сохранение углового момента $\Rightarrow$ $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=$ const (вторая кеплерова),
- решение задачи движения даёт эллипсы при отрицательной энергии.
- Объяснение ретроградности: это следствие относительного движения тел, каждое движется по собственной ньютоновой траектории; точные временные и пространственные зависимости угловых координат предсказываются количественно.
- Верификация: не только соответствие положений, но и предсказание возмущений, приливов, возврата комет, точные эфемериды — проверка через численные расчёты и наблюдения.
Сравнительный итог (методологический):
- Птолемей: геометрическая фит-модель с многими параметрами, объяснение описательное.
- Коперник: геометрическое упрощение (гелиоцентризм), лучшая концептуальная объясняемость ретроградности, но всё ещё идеализированные круги.
- Кеплер: данные → эмпирические законы (эллипсы, закон площадей) — метод: точные наблюдения + поиск закономерностей.
- Ньютон: теоретическая причина (гравитация + динамика) и математическое выведение наблюдаемых закономерностей; верификация через предсказания и проверку новых явлений.
Таким образом объяснение ретроградного движения прошло путь от искусственной составной геометрии (эпициркулы) к простой геометрии относительного движения (Коперник/Кеплер) и далее к причинно‑математической динамике (Ньютон), с одновременным ростом точности данных и строгости верификации.