Учебное задание
Цель: измерить длительности звёздного и солнечного дня с помощью простых инструментов, оценить погрешности и сравнить с табличными значениями.
Оборудование:
- вертикальный гномон (палка) высотой $h\sim 0,5-1$ м на горизонтальной площадке; или самодельный солнечный циферблат;
- тубус/картон с прицельной меткой (крестик) для наблюдения звезды;
- смартфон с видеозаписью или часы (синхронизированные с интернетом/GPS);
- рулетка, уровень/шнур с грузиком (вертикальность гномона);
- тетрадь/таблица для записи.
Методика — солнечный день (локальный солнечный полдень)
1. Установите гномон строго вертикально (проверьте уровнем или отвесом).
2. В дни наблюдений фиксируйте положение и время тени кончика гномона в интервале около ожидаемого полудня: чем чаще — тем точнее (оптимально видеозапись или отметки каждые $5-30$ с в интервале ±15–30 мин от полудня).
3. Определите момент локального солнечного полудня как момент наименьшей длины тени (минимум функции длина тени vs время). При видеозаписи можно определить кадр с минимумом; при отметках — аппроксимировать данные параболой и найти вершину.
4. Повторите определение полудня в последующие дни; длительность солнечного дня равна разности времён двух последовательных локальных полудней:
$$T_{\text{сол}}=t_{\text{полдень},i+1}-t_{\text{полдень},i}.$$
Методика — звёздный день (меридианный пролёт звезды)
1. Выберите яркую звезду с хорошей высотой в вашей широте (напр., Вега, Денеб, Сириус в подходящее время года).
2. Установите прицел (тубус с крестиком) на постоянное направление — так, чтобы при наблюдении звезда проходила через крестик в момент верхней кульминации (проход по местному меридиану).
3. Наблюдайте звезду и фиксируйте время её прохождения через крестик (можно видеозапись, при которой время кадра даёт метку). Лучше фиксировать верхнее прохождение (не нижнее), чтобы избежать проблем с горизонтом.
4. Повторите на следующих ночах; длительность звёздного дня — разность времён двух последовательных прохождений той же звезды:
$$T_{\text{зв}}=t_{\text{проход},i+1}-t_{\text{проход},i}.$$ 5. Для повышения точности измерьте $T$ за несколько последовательных интервалов и усредните.
Обработка данных и оценка погрешностей
- Среднее значение по $N$ измерениям:
$$\bar{T}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{T}_i.$$ - Выборочная стандартная дисперсия:
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(T_i-\bar{T}{)}^2}.$$ - Погрешность среднего (стандартная ошибка среднего):
$${\sigma }_{\bar{T}}=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}.$$ - Если отдельные времена имеют независимые случайные погрешности $\delta t_1,\delta t_2$, то погрешность разности оценивается как
$$\delta T=\sqrt{\delta t_1^2+\delta t_2^2}.$$
Типичные источники ошибок и способы оценки/снижения
1. Нечёткость момента события (определение минимума тени или точного прохождения звезды):
- Источник: ограниченная частота записи, реакция наблюдателя, ширина тени/размытость звезды.
- Оценка: использовать кадровую точность видеозаписи (напр., при $30$ fps временная дискретизация $\sim 0,033$ с); при ручных отметках оцените реакцию $0,2-1,0$ с.
- Снижение: видеозапись, высокая частота кадров, аппроксимация (парабола) нескольких точек вокруг минимума.
2. Дрэйф часовых приборов:
- Источник: кварцевые часы/часы на телефоне могут иметь смещение.
- Оценка: синхронизировать устройство с NTP/GPS и записать возможный дрейф.
- Снижение: использовать один и тот же синхронизированный прибор для всех измерений.
3. Наклон гномона и неровная площадка:
- Источник: неверная вертикальность изменяет момент минимума тени.
- Оценка: измерить отклонение угла $\alpha$; оценить смещение времени экспериментом или геометрически.
- Снижение: выровнять и проверить вертикальность, закрепить основание.
4. Атмосферная рефракция:
- Источник: смещает видимое положение Солнца/звезды (особенно низко над горизонтом).
- Оценка: для верхней кульминации (высокие высоты) эффект мал; для ярко низких звёзд/восходов — заметен.
- Снижение: выбирать моменты прохода/кульминации при большей высоте; при необходимости применять поправки по табличной формуле рефракции.
5. Систематические эффекты: уравнение времени и эксцентриситет орбиты Земли
- Для солнечного дня: промежутки между локальными (аппаратными) солнечными полуднями дают «видимый» солнечный день; среднее по длительному ряду будет близко к среднему солнечному дню $24$ ч, но отдельные дни отклоняются из-за уравнения времени (до $\pm 16$ мин в год).
- Для сравнения с «средним» 24 ч учитывайте, что видимая солнечная длительность меняется; для учебной работы фиксируйте разности между последовательными локальными полуднями.
Практические рекомендации
- Делайте не менее $N=5-10$ последовательных измерений для статистики.
- Для звёздного дня удобнее брать одну и ту же звезду и измерять несколько ночей подряд; для солнечного — фиксировать локальные полудни столько дней, сколько возможно.
- Сравните полученные ${\bar{T}}_{\text{зв}}$ и ${\bar{T}}_{\text{сол}}$ с табличными: ожидаемые значения $T_{\text{зв}}\approx 23$ ч $56$ мин $4$ s и средний солнечный день $T_{\text{сол,сред}}$=24 h (учтите влияние уравнения времени на отдельные дни).
Краткий пример оценки ошибки: если одиночное измерение времени имеет случайную погрешность $\delta t\approx 1$ с и вы сделали $N=9$ независимых интервалов, то погрешность среднего будет
$${\sigma }_{\bar{T}}\approx \frac{1\text{с}}{\sqrt{9}}=0,33\text{с}.$$
Задача для учащихся: провести наблюдения, собрать таблицу измерений $t_{\text{полдень},i}$ и $t_{\text{проход},i}$, вычислить интервалы, их средние и погрешности по приведённым формулам, проанализировать источники систематических ошибок и дать окончательные результаты с оценками погрешностей.