Кратко — механизм и затем анализ зависимости.
1) Физика образования релятивистских джетов
- Источник энергии — аккреция на сверхмассивную чёрную дыру (СЧД) и вращение горизонта. Поле: сильные десятки-тысячи Гаусс магнитные поля, занесённые или генерируемые в диске, извлекают энергию и коллимируют поток.
- Два основных механизма: Blandford–Znajek (BZ) — извлечение вращательной энергии чёрной дыры через магнитные поле, и Blandford–Payne — магнито-центробежный вынос из аккреционного диска. В современных моделях важна конфигурация MAD (magnetically arrested disk), когда магнитный поток достигает максимума и эффективно запускает мощный джет.
- Коллимация и ускорение идут за счёт магнитного давления/торсионного поля (Poynting‑flux), с переходом в кинетическую энергию частиц; формируется релятивистский бимодальный поток с сиротными Lorentz-факторами $\Gamma \sim 5-50$.
2) Мощность джета — масштабирование (упрощённо)
- Горизонт и гравитационный радиус: $r_g=\frac{GM}{c^2}$.
- В BZ мощность задаётся через магнитный поток ${\Phi }_B$ и угловую скорость горизонта ${\Omega }_H$. При оценках в MAD:
${\Phi }_B\sim B_H{r}_g^2,B_H\sim \frac{\sqrt{\dot{M}c}}{r_g}$.
Подставляя в формулу BZ получают типичное масштабирование
$P_{jet}\propto \dot{m}{a}^{2}M{c}^2,$ где $\dot{m}=\dot{M}/{\dot{M}}_{\mathrm{Edd}}$ — доля от еддинговской аккреции, $a$ — безразмерный спин ($|a|\le 1$). То есть при фиксированном $\dot{m}$ мощность растёт примерно пропорционально массе $M$ и как $a^2$ от спина.
(Короткая мотивировка: ${\Phi }_B^2\sim B_H^2{r}_g^4\sim (\dot{M}/M)M^4\sim \dot{m}{M}^3$, ${\Omega }_H^2\propto a^2/M^2$ → $P_{BZ}\propto \dot{m}{a}^{2}M$.)
3) Длина джета
- Рост длины зависит от мощности $P_j$, плотности и давления внешней среды ${\rho }_{\mathrm{ext}}$, и времени жизни $t$.
- Скорость урального «хэда» джета $v_h$ определяется балансом импульса (рам-прессия):
${\rho }_j({\Gamma }_j{v}_j{)}^2\sim {\rho }_{\mathrm{ext}}{v}_h^2$.
Для оценок даёт приближенно
$v_h\sim v_j\sqrt{\frac{{\rho }_j}{{\rho }_{\mathrm{ext}}}}\sim c{\left(\frac{P_j}{{\Gamma }_j^2{\rho }_{\mathrm{ext}}{c}^3{A}_j}\right)}^{1/2},$ где $A_j$ — поперечная площадь джета.
- Тогда длина через время $t$:
$L\sim v_{h}t.$ - Следовательно, при прочих равных: больший $P_j$ (то есть больший $M$ при фикс. $\dot{m}$ или больший $a$) даёт больший $v_h$ и большую конечную длину; но окружение и возраст часто доминируют (густая окружность тормозит даже мощный джет).
4) Яркость (радиосинхротронное излучение) и влияние массы/спина
- Синхротронная яркость зависит от числа релятивистских электронов $N_e$, магнитного поля $B$ в эмиссионном объёме $V$ и доплеровского усиления $\delta$.
При спектральном индексе $\alpha$ монохроматический поток масштабируется приблизительно как
$S_{\nu }\propto N_e{B}^{(1+\alpha )}V{\delta }^{2+\alpha }.$ - Связь с мощностью: магнитная энергия связана с $P_j$, можно взять $B^2\sim 8\pi {ϵ}_B{P}_j/(c{A}_j)$. Тогда при увеличении $P_j$ возрастает $B$ и потенциально $N_e$ (больше энергии для ускорения частиц), т.е. яркость растёт с $P_j$.
- Эффект спина и массы: поскольку $P_j\propto \dot{m}{a}^{2}M$, то при фиксованном $\dot{m}$ увеличение $M$ или $a$ повышает $P_j$ и, следовательно, среднюю яркость джета. Однако наблюдаемая яркость сильно зависит от угла к лучу наблюдения через $\delta$ (доплеровское усиление может менять яркость на десятки-крат).
5) Выводы и нюансы (коротко)
- Основная зависимость: при фиксированном отн. уровне аккреции $\dot{m}$ мощность джета примерно $\propto M{a}^2$. Поэтому более массивные и/или быстро вертящиеся СЧД способны давать более мощные (и, при прочих равных, более длинные и яркие) джеты.
- Но реальная длина и яркость сильно модифицируются окружением (плотность межгалактической/галактической среды), возрастом джета, режимом аккреции (радио‑тёплый/холодный), конфигурацией магнитного поля и углом наблюдения. Наблюдательные корреляции (например «radio‑loudness» vs спин) не однозначны из‑за этих факторов.

Если нужно, могу дать упрощённые численные оценки мощности и длины для заданных $M,\dot{m},a$ и плотности окружения.