Задача: когда два спутника находятся в орбитальном резонансе $2:1$?
1) Условие резонанса:
- По периодам: $\frac{T_2}{T_1}=2$ (внешний спутник имеет вдвое больший орбитальный период).
- По средним движениям: $\frac{n_1}{n_2}=2$, где $n_i=\frac{2\pi }{T_i}$.
- По великим полуосям (Kepler): ${\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^{3/2}=2\Rightarrow \frac{a_2}{a_1}=2^{2/3}.$
2) Резонансные углы (критерий реальной резонансной связи):
- Для внутреннего индексирования $1$ и внешнего $2$ типичные первые порядка углы:
${\varphi }_1=2{\lambda }_2-{\lambda }_1-{\varpi }_1,{\varphi }_2=2{\lambda }_2-{\lambda }_1-{\varpi }_2,$ где ${\lambda }_i$ — средние долготы, ${\varpi }_i$ — долготы перицентра. Резонанс считается установленным, если хотя бы один $\varphi$ либрирует (колеблется около фиксированного значения), а не циркулирует.
3) Влияние на орбитальную эволюцию:
- Консервативная динамика: взаимный обмен углового момента и энергии при удержании периода в соотношении $2:1$.
- Возрастание эксцентриситета: резонанс первого порядка эффективно «подкачивает» эксцентриситеты спутников (амплитуда зависит от масс и начальных условий).
- Секулярные эффекты: возможна фиксация разности перицентров $\Delta \varpi ={\varpi }_1-{\varpi }_2$ (апсидальная альянс/анти-альянс).
- При конвергентной миграции вероятность захвата высока при достаточно медленной (адиабатической) миграции; при быстрой миграции захват маловероятен.
- При больших массах или перекрытии соседних резонансов возможна переходная хаотичность и потеря устойчивости.
- Если есть трение/диссипация (тяготение, приливы, газовый диск), резонанс может удерживаться длительно и приводить к длительной эволюции эксцентриситета и теплообразованию (приливы).
4) Наблюдаемые явления и признаки резонанса $2:1$:
- Зафиксированное отношение периодов около $2:1$ и либрация резонансных углов (детектируется поorbit determination).
- Большие — и часто антикоррелированные — изменения времени транзитов (TTV). Супер-период для близкого к резонансу набора даётся как
1Psuper=∣ 2T2−1T1∣\displaystyle \frac{1}{P_{\rm super}}=\left|\,\frac{2}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right|Psuper 1 = T2 2 −T1 1 .
- Повышенные эксцентриситеты и, при приливном рассеянии, нагрев (пример: вулканизм Io в системе Юпитера в связи с резонансом $4:2:1$ у трёх спутников).
- Структуры в дисках и кольцах (щели/скопления) и резонансные пустоты в поясе астероидов (Кирквудовские щели, в частности у резонанса $2:1$ с Юпитером).
- В системах экзопланет — длительное удержание периодического соотношения и характерные спектры частот в радиальных скоростях/TTV.
Коротко: орбитальный резонанс $2:1$ возникает при $\frac{T_2}{T_1}=2$ (или $\frac{a_2}{a_1}=2^{2/3}$), диагностируется либрацией резонансных углов типа $2{\lambda }_2-{\lambda }_1-{\varpi }_i$, ведёт к обмену углового момента, накачке эксцентриситета и специфическим наблюдаемым эффектам (TTV, тепловые эффекты, структурные особенности в дисках).