Коротко: фазовый угол Земли (как видна с Марса) меняется от примерно α≈180∘\alpha\approx 180^\circα≈180∘ при противостоянии до α≈0∘\alpha\approx 0^\circα≈0∘ при соединении; видимая величина возрастёт от практически невидимой (ночная сторона) до порядка m∼−1m\sim -1m∼−1 при полной фазе. Ниже — упрощённые расчёты и оценки. 1) Геометрия и расстояния (усреднённо, орбиты круговые, rE=1r_E=1rE=1 AU, rM=1.524r_M=1.524rM=1.524 AU): dopp=rM−rE=1.524−1=0.524 AU,dconj=rM+rE=1.524+1=2.524 AU.
d_{\text{opp}}=r_M-r_E=1.524-1=0.524\ \text{AU},\qquad d_{\text{conj}}=r_M+r_E=1.524+1=2.524\ \text{AU}. dopp=rM−rE=1.524−1=0.524AU,dconj=rM+rE=1.524+1=2.524AU. 2) Фазовая функция (ламбертова сфера, упрощённо): Φ(α)=sinα+(π−α)cosαπ.
\Phi(\alpha)=\frac{\sin\alpha+(\pi-\alpha)\cos\alpha}{\pi}. Φ(α)=πsinα+(π−α)cosα.
Тогда Φ(0)=1\Phi(0)=1Φ(0)=1 (полная фаза), Φ(π)=0\Phi(\pi)=0Φ(π)=0 (идеально «новая» — нет отражённого света). 3) Отношение яркостей и разность величин: F2F1=Φ(α2)Φ(α1)⋅(d1d2)2,Δm=−2.5log10F2F1.
\frac{F_2}{F_1}=\frac{\Phi(\alpha_2)}{\Phi(\alpha_1)}\cdot\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2,\qquad \Delta m=-2.5\log_{10}\frac{F_2}{F_1}. F1F2=Φ(α1)Φ(α2)⋅(d2d1)2,Δm=−2.5log10F1F2.
При переходе от противостояния (α≈180∘\alpha\approx180^\circα≈180∘) к соединению (α≈0∘\alpha\approx0^\circα≈0∘) Φ\PhiΦ меняется от ≈0\approx0≈0 до 111, поэтому яркость возрастает очень резко. Для чистой ламбертовой модели при точном α=180∘\alpha=180^\circα=180∘ отражённый свет равен нулю. 4) Числовая оценка (более реалистично — сравним с яркостью полной Земли): Известно, что полная Земля, наблюдаемая с Луны, имеет примерно m≈−16m\approx -16m≈−16. Масштабируя на расстояние до Марса при соединении (Δconj=2.524\Delta_{\rm conj}=2.524Δconj=2.524 AU =3.776×108=3.776\times10^8=3.776×108 km; расстояние Земля–Луна ΔMoon=3.844×105\Delta_{\rm Moon}=3.844\times10^5ΔMoon=3.844×105 km): mconj≈−16+5log10ΔconjΔMoon≈−16+5log10(982)≈−1.0.
m_{\rm conj}\approx -16+5\log_{10}\frac{\Delta_{\rm conj}}{\Delta_{\rm Moon}} \approx -16+5\log_{10}(982)\approx -1.0. mconj≈−16+5log10ΔMoonΔconj≈−16+5log10(982)≈−1.0.
То есть при полной фазе Земля с Марса будет примерно m∼−1m\sim -1m∼−1. Если рассмотреть ситуацию близко к противостоянию, но не идеально (например α=170∘\alpha=170^\circα=170∘), то Φ(170∘)≈5.38×10−4,
\Phi(170^\circ)\approx 5.38\times10^{-4}, Φ(170∘)≈5.38×10−4,
и отношение яркостей между этой фазой (на расстоянии dopp=0.524d_{\text{opp}}=0.524dopp=0.524 AU) и полной фазой при соединении даёт Fα=170∘, d=0.524Ffull, d=2.524≈0.000538⋅(2.5240.524)2≈0.0125,
\frac{F_{\alpha=170^\circ,\ d=0.524}}{F_{\rm full,\ d=2.524}} \approx 0.000538\cdot\left(\frac{2.524}{0.524}\right)^2\approx 0.0125, Ffull,d=2.524Fα=170∘,d=0.524≈0.000538⋅(0.5242.524)2≈0.0125,
что соответствует разности величин Δm≈−2.5log10(0.0125)≈+4.8.
\Delta m\approx -2.5\log_{10}(0.0125)\approx +4.8. Δm≈−2.5log10(0.0125)≈+4.8.
Отсюда mα=170∘≈−1.0+4.8≈+3.8m_{\alpha=170^\circ}\approx -1.0+4.8\approx +3.8mα=170∘≈−1.0+4.8≈+3.8. При ещё ближе к 180∘180^\circ180∘ значение будет ещё слабее (ламбертова модель даёт ноль при точно 180∘180^\circ180∘). Вывод: фазовый угол меняется от ≈180∘180^\circ180∘ до 0∘0^\circ0∘. Видимая величина меняется от практически невидимой (идеально — без отражённого света при α=180∘\alpha=180^\circα=180∘; в реальности — очень слабая, m≫+5m\gg+5m≫+5) до примерно m≈−1m\approx -1m≈−1 при полной фазе; при небольшом отклонении от точного противостояния (пример α=170∘\alpha=170^\circα=170∘) Земля уже будет m∼+3÷+4m\sim +3\div+4m∼+3÷+4.
1) Геометрия и расстояния (усреднённо, орбиты круговые, rE=1r_E=1rE =1 AU, rM=1.524r_M=1.524rM =1.524 AU):
dopp=rM−rE=1.524−1=0.524 AU,dconj=rM+rE=1.524+1=2.524 AU. d_{\text{opp}}=r_M-r_E=1.524-1=0.524\ \text{AU},\qquad
d_{\text{conj}}=r_M+r_E=1.524+1=2.524\ \text{AU}.
dopp =rM −rE =1.524−1=0.524 AU,dconj =rM +rE =1.524+1=2.524 AU.
2) Фазовая функция (ламбертова сфера, упрощённо):
Φ(α)=sinα+(π−α)cosαπ. \Phi(\alpha)=\frac{\sin\alpha+(\pi-\alpha)\cos\alpha}{\pi}.
Φ(α)=πsinα+(π−α)cosα . Тогда Φ(0)=1\Phi(0)=1Φ(0)=1 (полная фаза), Φ(π)=0\Phi(\pi)=0Φ(π)=0 (идеально «новая» — нет отражённого света).
3) Отношение яркостей и разность величин:
F2F1=Φ(α2)Φ(α1)⋅(d1d2)2,Δm=−2.5log10F2F1. \frac{F_2}{F_1}=\frac{\Phi(\alpha_2)}{\Phi(\alpha_1)}\cdot\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2,\qquad
\Delta m=-2.5\log_{10}\frac{F_2}{F_1}.
F1 F2 =Φ(α1 )Φ(α2 ) ⋅(d2 d1 )2,Δm=−2.5log10 F1 F2 . При переходе от противостояния (α≈180∘\alpha\approx180^\circα≈180∘) к соединению (α≈0∘\alpha\approx0^\circα≈0∘) Φ\PhiΦ меняется от ≈0\approx0≈0 до 111, поэтому яркость возрастает очень резко. Для чистой ламбертовой модели при точном α=180∘\alpha=180^\circα=180∘ отражённый свет равен нулю.
4) Числовая оценка (более реалистично — сравним с яркостью полной Земли):
Известно, что полная Земля, наблюдаемая с Луны, имеет примерно m≈−16m\approx -16m≈−16. Масштабируя на расстояние до Марса при соединении (Δconj=2.524\Delta_{\rm conj}=2.524Δconj =2.524 AU =3.776×108=3.776\times10^8=3.776×108 km; расстояние Земля–Луна ΔMoon=3.844×105\Delta_{\rm Moon}=3.844\times10^5ΔMoon =3.844×105 km):
mconj≈−16+5log10ΔconjΔMoon≈−16+5log10(982)≈−1.0. m_{\rm conj}\approx -16+5\log_{10}\frac{\Delta_{\rm conj}}{\Delta_{\rm Moon}}
\approx -16+5\log_{10}(982)\approx -1.0.
mconj ≈−16+5log10 ΔMoon Δconj ≈−16+5log10 (982)≈−1.0. То есть при полной фазе Земля с Марса будет примерно m∼−1m\sim -1m∼−1.
Если рассмотреть ситуацию близко к противостоянию, но не идеально (например α=170∘\alpha=170^\circα=170∘), то
Φ(170∘)≈5.38×10−4, \Phi(170^\circ)\approx 5.38\times10^{-4},
Φ(170∘)≈5.38×10−4, и отношение яркостей между этой фазой (на расстоянии dopp=0.524d_{\text{opp}}=0.524dopp =0.524 AU) и полной фазой при соединении даёт
Fα=170∘, d=0.524Ffull, d=2.524≈0.000538⋅(2.5240.524)2≈0.0125, \frac{F_{\alpha=170^\circ,\ d=0.524}}{F_{\rm full,\ d=2.524}}
\approx 0.000538\cdot\left(\frac{2.524}{0.524}\right)^2\approx 0.0125,
Ffull, d=2.524 Fα=170∘, d=0.524 ≈0.000538⋅(0.5242.524 )2≈0.0125, что соответствует разности величин
Δm≈−2.5log10(0.0125)≈+4.8. \Delta m\approx -2.5\log_{10}(0.0125)\approx +4.8.
Δm≈−2.5log10 (0.0125)≈+4.8. Отсюда mα=170∘≈−1.0+4.8≈+3.8m_{\alpha=170^\circ}\approx -1.0+4.8\approx +3.8mα=170∘ ≈−1.0+4.8≈+3.8. При ещё ближе к 180∘180^\circ180∘ значение будет ещё слабее (ламбертова модель даёт ноль при точно 180∘180^\circ180∘).
Вывод: фазовый угол меняется от ≈180∘180^\circ180∘ до 0∘0^\circ0∘. Видимая величина меняется от практически невидимой (идеально — без отражённого света при α=180∘\alpha=180^\circα=180∘; в реальности — очень слабая, m≫+5m\gg+5m≫+5) до примерно m≈−1m\approx -1m≈−1 при полной фазе; при небольшом отклонении от точного противостояния (пример α=170∘\alpha=170^\circα=170∘) Земля уже будет m∼+3÷+4m\sim +3\div+4m∼+3÷+4.