Короткая упрощённая модель (с пояснениями).
1) Условия резонанса
- Обозначим внутреннюю (быстрее) орбиту индексом in, внешнюю — out. Резонанс 3:2 означает
$\frac{n_{\mathrm{in}}}{n_{\mathrm{out}}}=\frac{3}{2}$ или эквивалентно
$2n_{\mathrm{in}}-3n_{\mathrm{out}}\approx 0$,
где $n=2\pi /P$ — среднeе движение (обратный период).
2) Резонансные углы (для невырожденных орбит, первая степенной резонанс, $q=1$)
- Два стандартных угла:
${\varphi }_1=3{\lambda }_{\mathrm{out}}-2{\lambda }_{\mathrm{in}}-{\varpi }_{\mathrm{in}},{\varphi }_2=3{\lambda }_{\mathrm{out}}-2{\lambda }_{\mathrm{in}}-{\varpi }_{\mathrm{out}},$ где $\lambda$ — средняя долгота, $\varpi$ — долгота перицентра.
- Резонанс проявляется, когда хотя бы один из $\varphi$ колеблется (libration) вместо монотонного пробегания (circulation).
3) Упрощённый гамильтониан и маятниковая аппроксимация
- После усреднения по быстрым фазам и введения канонических переменных резонанс близко к центру сводится к уравнению типа математического маятника:
$\ddot{\varphi }+{\omega }_0^2\sin \varphi =0,$ где характерная частота
${\omega }_0\sim n\sqrt{\mu e}$,
$\mu =m_{\mathrm{pert}}/M$ — отношение массы возмущающего тела к центральной массе, $e$ — эксцентриситет соответствующей орбиты.
- Либрационная полуширина в частоте и полурадиус в полуоси можно оценить как
$\frac{\Delta n}{n}\sim \sqrt{\mu e},\frac{\Delta a}{a}\sim \frac{2}{3}\sqrt{\mu e}.$
4) Устойчивые и неустойчивые конфигурации
- Устойчивые (либрационные) состояния:
- Симметричные центры либрации при $\varphi \approx 0$ или $\varphi \approx \pi$ (в зависимости от фаз и направлений моментов импульса).
- Асимметричные центры возможны при больших $\mu$ или при включении наклона/высших гармоник — островки в фазовом пространстве.
- В резонансе сохраняется принудительно ненулевая эксцентриситет (forced eccentricity), что устойчиво при балансе возмущений и затухания.
- Неустойчивые конфигурации:
- Сепаратриса (граница между либрацией и циркуляцией) — чувствительна к возмущениям, генерирует хаотическое поведение.
- Зоны перекрывающихся соседних резонансов приводят к хаосу и переходам (resonance overlap).
- Быстрая миграция или сильное затухание эксцентриситета могут вывести систему из резонанса (расцепление).
5) Захват в резонанс и эволюция
- Захват вероятен при сближающейся (convergent) миграции, если темп миграции медленный по сравнению с либрационным периодом:
$T_{\mathrm{mig}}\gg T_{\mathrm{lib}}\sim \frac{2\pi }{n\sqrt{\mu e}}.$ - Затухание эксцентриситета (например, приливы) и внешняя миграция определяют окончательное равновесие (постоянная forced $e$ или выход из резонанса).
6) Наблюдаемые признаки (как обнаружить 3:2)
- Соотношение периодов близко к $P_{\mathrm{in}}/P_{\mathrm{out}}\approx 2/3$.
- Либрация резонансного угла: измеряется из длин периодов/фаз — требует точной астрометрии или длительных наблюдений.
- Транзитные вариации времени (TTV): амплитуда $\sim (m_{\mathrm{pert}}/M)\times P$ и период вариаций равен «супер-периоду»
$T_{\sup }=\frac{1}{\left|2/P_{\mathrm{in}}-3/P_{\mathrm{out}}\right|}.$ - Переменная эксцентриситетная уязвимость: повышенный внутренний нагрев (при лунных системах — геологическая активность) из-за поддерживаемого $e$.
- Спектр частот орбитальных элементов: присутствие пиков, связанных с либрацией ${\omega }_0$.
7) Методы изучения (практически)
- Усреднённый гамильтониан и анализ равновесий (аналитика — поиск стационарных точек и их устойчивости).
- Численные N‑body интеграторы для фазовых портретов, Poincaré‑сечения, проверка захвата при миграции.
- Наблюдения: точные периоды/фазы, TTV, астрометрия, тепловые/геологические эффекты для спутников.
Кратко: резонанс 3:2 описывается соотношением $2n_{\mathrm{in}}-3n_{\mathrm{out}}\approx 0$ и резонансными углами ${\varphi }_{1,2}$. Возможны стабильные центры либрации (симметричные или асимметричные) и неустойчивые сепаратрисы/хаотические зоны; ключевые наблюдаемые признаки — соотношение периодов, либрация резонансных углов и TTV/нагрев, подтверждаемые через усреднённый гамильтониан и численные интеграции.