План наблюдений и обработки + формулы и порядок оценок (кратко).
1) Подготовка наблюдений
- Выбор цели: известный период $P$ или поиск транзита. Оцените ожидаемую глубину $\delta$ из предполагаемого радиуса: $\delta \sim (R_p/R_{\ast }{)}^2$.
- Временное покрытие: наблюдать не менее чем за $1.5$–$2$ раза дольше полной длительности транзита (до и после) для адекватного фита базовой линии.
- Каденс и экспозиции: обеспечьте $\gtrsim 3$–$5$ точек во время фазы входа/выхода; экспозиция $t_{\exp }$ << длительности входа/выхода. Цель по точности: пер-точечная фотометрическая ошибка ${\sigma }_{\mathrm{phot}}$ такая, чтобы суммарный S/N транзита $\gtrsim 10$ (рекомендуемо).
- Фильтры: один или несколько широких фильтров; согласуйте с моделями лимб‑затемнения (см. пункт 4).
- Повтор: наблюдать несколько транзитов для повышения S/N и проверки систематики.
2) Калибровка и извлечение кривой блеска
- Стандартная калибровка: bias, dark, flat.
- Дифференциальная фотометрия: несколько стабильных эталонных звёзд близких цвета и яркости.
- Коррекция тренда: регрессия по воздуховой массе, положению звезды, температуре и т.д.; оценить красный шум (коррелированную компоненту) — метод Pont et al. (2006).
- Оценка ошибок: использовать бутстрэп или временную корреляцию для адекватных ошибок.
3) Первичный анализ транзита (извлечение параметров)
- Из кривой получить: глубину $\delta$, полную длительность транзита $T$ (1st–4th contact), длительность входа/выхода $\tau$, время центра $T_c$. При известных $P$ — фит фазы по многим транзитам.
- Модель: использовать модель Мандель & Агольд (Mandel & Agol 2002) с параметрами $\{R_p/R_{\ast },a/R_{\ast },i,T_c,P,u_1,u_2\}$ (коэффициенты лимб‑затемнения $u_i$).
- Фит и ошибки: MCMC или nested sampling; учитывать приоритеты/прайоры для $u_i$.
4) Лимб‑затемнение и параметры звезды
- Коэффициенты лимб‑затемнения взять из таблиц по спектральному типу / $T_{\mathrm{eff}},\log g,[Fe/H]$ (например Claret) и использовать как приоритеты.
- Оценить параметры звезды:
- По спектральному типу/ $T_{\mathrm{eff}},\log g$ найти массу $M_{\ast }$ и радиус $R_{\ast }$ по эмпирическим связям (Torres et al.) или по изохронам.
- Лучше: использовать параллакс (Gaia) + фотометрическую SED + болометрическую поправку, затем
$$L_{\ast }=4\pi d^2{F}_{\mathrm{bol}},R_{\ast }=\sqrt{\frac{L_{\ast }}{4\pi {\sigma }_{\mathrm{SB}}{T}_{\mathrm{eff}}^4}}.$$
5) Извлечение радиуса планеты
- Глубина даёт отношение радиусов:
$$\delta ={\left(\frac{R_p}{R_{\ast }}\right)}^2\Rightarrow R_p=R_{\ast }\sqrt{\delta }.$$ - Ошибка:
$${\left(\frac{{\sigma }_{R_p}}{R_p}\right)}^2={\left(\frac{{\sigma }_{R_{\ast }}}{R_{\ast }}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left(\frac{{\sigma }_{\delta }}{\delta }\right)}^2.$$
6) Использование формы транзита для оценки ${\rho }_{\ast }$ и проверок
- Для круговой орбиты средняя плотность звезды выражается через $a/R_{\ast }$:
$${\rho }_{\ast }=\frac{3\pi }{G{P}^2}{\left(\frac{a}{R_{\ast }}\right)}^3.$$ - $a/R_{\ast }$ извлекается из $T,\delta ,\tau ,i$ (через модель). Сравнение вычисленной ${\rho }_{\ast }$ с тем, что дают спектр/изохроны — хорошая проверка консистентности.
7) Оценка массы и плотности планеты
- Лучший способ: радиальные скорости (RV) → масса $M_p$ и затем плотность
$${\rho }_p=\frac{M_p}{\frac{4}{3}\pi R_p^3}.$$ Ошибка:
$${\left(\frac{{\sigma }_{{\rho }_p}}{{\rho }_p}\right)}^2={\left(\frac{{\sigma }_{M_p}}{M_p}\right)}^2+9{\left(\frac{{\sigma }_{R_p}}{R_p}\right)}^2.$$ - Если RV недоступны: использовать эмпирические M–R отношения (например Chen & Kipping 2017, Weiss & Marcy 2014) вида
$$M_p=C{R}_p^{\gamma },$$ и затем применять ту же формулу плотности, при этом учитывать систематическую неопределённость M–R отношения.
8) Учет систематик и дополнительные проверки
- Проверить возможные ложные срабатывания: эвент от блендинга, фоновых экапсов — провести мультифильтровые наблюдения, высокое разрешение изображения/спектр.
- Проверить TTV (если несколько транзитов), использовать RV для быстрой проверки массы.
- Документировать все приоритеты и предположения (круговая орбита, отсутствие блендинга и т.д.).
Краткий итог последовательности действий:
1) Наблюдения: покрытие транзита с высоким S/N и хорошим каденсом.
2) Калибровка и дифференциальная фотометрия, удаление трендов.
3) Фит модели транзита (Mandel&Agol) с MCMC → извлечь $\delta ,T,\tau ,a/R_{\ast },i$.
4) Получить $R_{\ast }$ из спектрального типа + параллакс/изохроны/SED.
5) Вычислить $R_p=R_{\ast }\sqrt{\delta }$.
6) Получить $M_p$ из RV или M–R отношения и вычислить ${\rho }_p$.
Если нужно — пришлите конкретную кривую и параметры звезды ( $P,\delta ,T,\tau ,T_{\mathrm{eff}},\log g,d$ ), и я рассчитую $R_p$ и ${\rho }_p$ с числовыми шагами.