Ваша мысль в целом верна. Можно сформулировать точнее:

Исправленная фраза:
Бактерии, освоившие фотосинтез $цианобактерии$, были захвачены одноклеточными эукариотами и превратились в двойные органеллы — хлоропласты; так появились первые фотосинтезирующие водоросли.

Короткое объяснение $теорияэндосимбиоза$:

Примерно 1,5–2 миллиарда лет назад одноклеточные эукариоты поглощали цианобактерии, но не переваривали их. Захваченные цианобактерии стали симбионтами и эволюционировали в хлоропласты.В результате возникли первые эукариотические фотосинтезирующие организмы — предки современных красных, зелёных водорослей и глаукофитов $этоназываетсяпервичнымэндосимбиозом$.Позже некоторые группы эукариотов поглощали уже фотосинтезирующих эукариот — так происходили вторичный и третичный эндосимбиозы, что породило много других групп водорослей $динофлагелляты,диатомовые,хромистыеит.п.$.

Доказательства эндосимбиоза:

Хлоропласты имеют собственную ДНК, похожую на ДНК цианобактерий.У многих хлоропластов двойные мембраны; у некоторых — остатки клеточной стенки $вглаукофитах$.Сходство фотосинтетических пигментов и белков с цианобактериальными.

Замечание:

«Водоросли» — это не единая эволюционная группа, а сборное название для разных фотосинтезирующих эукариотов и некоторых прокариотов $цианобактерий$. Первые водоросли были, скорее всего, одноклеточными.