Краткая стратегия и обоснование.
1) Стратификация (обязательна)
- Разделить популяцию по стоимости: «высокая стоимость» = $10\%$ позиций, «низкая стоимость» = $90\%$. Для $N=10000$: $N_h=0.10\cdot 10000=1000$, $N_l=9000$. Обоснование: $90\%$ стоимости сосредоточено в небольшом числе позиций — именно в них сосредоточен риск существенной ошибки.
2) Методы по стратам
- Стратум высокого уровня (высокая стоимость, $N_h$):
- Рекомендуется 100% проверка (физический пересчёт и подтверждение документов) если ресурсно возможно. Обоснование: малое число позиций формирует большую долю стоимости, даже единичная ошибка критична.
- Если 100% невозможно — использовать PPS / Monetary Unit Sampling (MUS, выборка с вероятностью, пропорциональной стоимости). MUS даёт большую вероятность отобрать крупные остатки и удобна для оценки переоценки/недостачи на сумму.
- Тесты: физическое существование (осмотр, штрих-код/скан), подтверждение прав на товар, сверка с приходными накладными, проверка оценки (себестоимость/NRV), проверка резервов/списаний.
- Стратум низкого уровня (низкая стоимость, $N_l$):
- Использовать статистическую выборку SRS или систематическую выборку для проверки представительности; применять аналитические процедуры для массовых номенклатур (ср. оборот, движения).
- Тесты: выборочные физические проверки, сопоставление с документами поставки/отгрузки, проверки цен на выборке; для оценки ошибок — переменная выборка (ratio или SRS) достаточно.
3) Оценка обнаруженных ошибок (проекция на популяцию)
- Для выборок SRS (в низком страте) простая экспансия:
$${\hat{E}}_{\text{exp}}=\frac{N}{n}\sum _{i=1}^n{e}_i$$ где $e_i$ — обнаруженная ошибка для отобранного предмета.
- Для выборок, взятых по стоимости (MUS / PPS), используют отношение (ratio) или прямую проекцию по сумме стоимостей:
$${\hat{E}}_{\text{ratio}}=B_{\text{pop}}\cdot \frac{{\sum }_{i=1}^n{e}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$$ где $b_i$ — балансовая стоимость отобранного предмета, $B_{\text{pop}}$ — общая балансовая стоимость популяции.
- Обоснование: MUS/PPS даёт точную проекцию денежных недостач, SRS даёт корректную оценку среднего/суммы для мелких позиций.
4) Выбор размеров выборок (практические рекомендации)
- Высокая стоимость ($N_h=1000$): целевое — 100% или, если нет, MUS с достаточным числом единиц, чтобы обнаружить крупные ошибки; практически — минимум несколько сотен отборов по PPS (например $n\approx 200$–$500$) в зависимости от допустимой ошибки и уровня доверия.
- Низкая стоимость ($N_l=9000$): SRS/систематическая выборка $n\approx 200$–$400$ обычно достаточна для обнаружения системных проблем и оценки уровня ошибок, точное $n$ рассчитывается по допустимой относительной погрешности и ожидаемому стандартному отклонению.
- Для расчёта $n$ можно использовать зависимость от допустимой ошибки $E$ и уровня доверия (квантиль $z$):
$$n\approx \frac{z^2{\sigma }^2}{E^2}$$ где $\sigma$ — оценка стандартного отклонения по стоимости/ошибкам; либо для задачи обнаружения хотя бы одной ошибочной позиции при истинной доле ошибок $p$:
$$n=\frac{\ln (\alpha )}{\ln (1-p)}$$ ($\alpha$ — уровень риска невыполнения, напр. $0.05$ для $95\%$ уверенности).
5) Практические нюансы и рекомендации
- Делать дуальные тесты (existence + valuation) для высокого страта — физический осмотр и проверка цены/накладных одномоментно.
- Использовать сканирование/шаблоны для ускорения 100% проверок по высокому страту (если численно велико).
- Документировать допущения: tolerable misstatement (TM), ожидаемый уровень ошибок, уровень уверенности — эти параметры определяют точный размер выборки.
- Если по результатам выборки появляются существенные отклонения в низком страте — расширять выборку или повышать долю 100% проверок.
Коротко: стратифицировать (верхний $10\%$ — 1\,000 позиций отделить), для верхнего страта — 100% или MUS/PPS + физический осмотр и проверка цен; для нижнего — SRS/систематическая выборка и аналитика; при проекции ошибок применять формулы экспансии или ratio в зависимости от метода.