Ниже — подробный практический алгоритм ручного (на чертеже, без САПР) построения эвольвентного зубчатого колеса, список необходимой вычислительной информации и инструментов, рекомендуемые допуски и обоснование выбора методов.

Входные данные и исходные размеры

модуль m;число зубьев z;угол давления на диаметре делительного круга α (обычно 20°);профильный сдвиг x (если есть; в простом случае x = 0);стандартизованные размеры:делительный диаметр D = m·z;делительный радиус R_p = D/2;база (основной) радиус R_b = R_p · cosα;высота выступа (addendum) h_a ≈ m (по стандарту);высота впадины (dedendum) h_f ≈ 1.25·m (по стандарту);радиус вершин (addendum circle) R_a = R_p + h_a;радиус корней (root circle) R_f = R_p - h_f;круг вершины (addendum circle) и круг корня — построить для ориентира.
(Примечание: при профильном сдвиге x заменяются стандартные приращения согласно формуле.)

Инструменты и масштаб

чертёжный циркуль, рейсшина/линейка, делительная шкала или транспортир, делитель (шаги деления по окружности с циркулем), тонкие карандаши/линейки для касательных, французская кривая (шпилька) или шаблон для сглаживания;масштаб чертежа: выбрать так, чтобы d/2 и мелкие размеры были легко откладываемы; для небольшого м (<1) удобнее ставить увеличивающий масштаб.

Полезные формулы для построения (нужно вычислить заранее)

R_p = m·z/2;R_b = R_p·cosα;параметр t для пересечения эвольвенты с делительным кругом:
t_p = sqrt((R_p / R_b)^2 − 1) (в радианах, >=0)угловое смещение между радиус-вектором к точке на базовом круге и радиус-вектором к соответствующей точке эвольвенты:
Δφ_p = arctan(t_p)
(Эти формулы используются, чтобы точно расположить начало «развёртки» эвольвенты так, чтобы она пересекала делительный круг в требуемой точке — это важно для правильной толщины зуба на делительном круге.)

Общая идея метода (практическая реализация)
Эвольвента строится как «развёрнутая» (unwound) нить, намотанная на базовый круг. Практически это реализуется так:

на базовом круге откладывают равные дуги от стартовой точки;в каждой точке базового круга проводят касательную;на каждой касательной от соответствующей точки ОТМЕЧАЮТ отрезок, длина которого равна длине дуги от стартовой точки до этой точки (т. е. s = R_b·Δθ для дуги);концы этих отрезков лежат на эвольвенте; соединяют полученные точки плавной кривой (французской кривой).

Пошаговый алгоритм построения одного зуба (строгое пошаговое руководство)

Подготовка окружностей:
1) Построить центр O, начертить делительный круг радиусом R_p.
2) Построить базовый круг радиусом R_b, концентрично делительному.
3) Построить окружность вершин радиусом R_a и окружность корней радиусом R_f.

Разделение окружности:
4) Разделить делительный круг на z равных частей (углы 360°/z). Провести осевые линии зубьев (центры зубьев). Выбрать конкретную осевую линию для моделируемого зуба.

Определение положения эвольвент на делительном круге:
5) Вычислить теоретическую толщину зуба на делительном круге s = π·m/2 (для нулевого профильного сдвига). Полуширина в угловом выражении: β = s/(2·R_p) = π/(2·z) (в радианах).
6) Угловые положения правой и левой сторон зуба на делительном круге относительно оси зуба: φ_right_at_Rp = φ_center + β, φ_left_at_Rp = φ_center − β.

Определение точек на базовом круге, откуда «разворачивать нить»:
7) Вычислить t_p = sqrt((R_p / R_b)^2 − 1) и Δφ_p = arctan(t_p).
8) Угловое положение точки на базовом круге, соответствующей пересечению эвольвенты с делительным кругом:
ψ_right_base = φ_right_at_Rp − Δφ_p;
ψ_left_base = φ_left_at_Rp + Δφ_p. (знак +/− в зависимости от направления отсчёта углов)
(Это даёт начальные точки на базовом круге для правой и левой эвольвент.)

Построение эвольвентного профиля «методом нити» (для одной стороны):
9) На базовом круге от найденной начальной точки ψ_base, в направлении от центра через покомпонентное увеличение угла (т. е. по направлению, в котором разворачивают нить), разбить дугу от ψ_base до точки, соответствующей пересечению с окружностью вершин, на N мелких равных дуг (N — 8…20, чем больше модуль, тем меньше точек можно взять; для точного профиля взять 12–24 точки).
10) Для каждой точки P_i на базовом круге:
a) провести касательную к базовому кругу в P_i;
b) отмерить на этой касательной от точки P_i отрезок длиной равной дуге базового круга от ψ_base до P_i: s_i = R_b · (ψ_i − ψ_base);
c) отметить на касательной точку Q_i, отстоящую на s_i от P_i (в направлении разворачивания);
11) Точки Q_i принадлежат эвольвенте. Соединить Q_i плавной кривой (французская кривая, лекало). Для правой и левой стороны построить симметрично, по отдельным базовым начальным точкам.
12) Обрезать эвольвент по окружности вершин R_a (точку на эвольвенте, где расстояние до центра = R_a, считать вершиной зуба). Ниже корней эвольвента не продолжают (в корневой области профиль выполняется сопряжёнными переходными радиусами).

Проверка правильности толщины на делительном круге:
13) На делительном круге измерить дугу между правой и левой эвольвентой — она должна равняться s. Если несовпадает, повторно скорректировать начальное положение ψ_base (в теоретически выверенном алгоритме с формулами это не требуется; в практическом — проверяем и при необходимости подправляем из-за погрешностей делений).

Повторение для всех зубьев:
14) Скопировать (повернуть) профиль зуба вокруг центра на все z позиций (поворотом на множители 360°/z). Вручную — построить для каждого зуба по тем же углам центров.

Детали и радиусы в основании:
15) На вершинах и корнях поставить радиусы сопряжения (по стандарту или по расчету), провести плавный переход между эвольвентой и внутренней окружностью корня. Радиус впадины (филировки) r_f обычно берут ≥0.38·m (в стандартных зубчатых передачах — по нормам).

Практические приёмы и советы

Для отмеривания дуг и переноса их как прямых отрезков (s_i) удобно сначала с помощью циркуля перенести дугу в виде набора шагов: циркулем замерять дугу по базе и затем по касательной откладывать тот же шаг (итерационно суммируя).Используйте большое число точек на эвольвенте для плавности: 12–24 на сторону обычно достаточно (меньше — видимые углы).Для мелких модулей (m ≤ 1) ручная постройка затруднительна — лучше использовать шаблон/копир или растровку с увеличением.Для высокоточных чертежей предпочтительнее заранее вычислять ψ_base по формулам (п.7), а не подгонять эмпирически.

Необходимые допуски и геометрические требования (рекомендации)
Общие замечания: допуски на чертеже должны ссылаться на стандарт ISO 1328 (точность зубчатых передач) или ГОСТ 1643x/… в вашей стране. Выбирать качество (класс точности) в зависимости от назначения:

Привод высокой точности и скорости (прецизионные редукторы) — класс точности 4–6 (ISO 1328).Общие механизмы — класс 7–9.Грубыe приводы низкой точности — класс 10–12.

Какие параметр ы указывать и приблизительные значения для общей (промышленной) точности (примерно, для m ≈ 1–5, класс 7–8):

Делительный диаметр D: ±(0.02…0.10) мм (чем меньше модуль и выше класс, тем меньше допуск).Толщина зуба на делительном круге s: ±(0.02…0.08) мм (для класса 6: ≈±0.02–0.03 мм; для класса 8: ≈±0.05–0.08 мм).Боковой зазор (backlash): указывать требуемую величину e (например, e = 0.05·m … 0.15·m для общего применения) и допуск ±0.02–0.05 мм.Радиальное биение/концентричность базового и делительного кругов: ±(0.02…0.05) мм.Профильная невязка (функция отклонения профиля): указывать по ISO F_a границы (для класса 6: 0.01–0.03 мм; класс 8: 0.03–0.08 мм).Кривизна корневой окружности и радиус сопряжения: допуск ±0.05–0.10 мм в зависимости от критичности.

Примечание: конкретные численные значения зависят от модуля, числа зубьев и требуемого класса точности. Рекомендую в рабочем чертеже ссылаться на конкретный класс по ISO 1328-1 и дополнять: «см. допуск по ISO 1328-1, класс N», а также указывать требуемый боковой зазор и допуски на диаметр и концентричность.

Обоснование выбора методов

«Нить/касательная» (метод развёртывания) — самый естественный и воспроизводимый ручной метод: он напрямую моделирует геометрический способ получения эвольвенты (разматывание нитки) и позволяет получить точную форму без сложной математической траектории. При достаточном числе точек результат близок к математической эвольвенте.Вычисление начального положения базовой точки (п.7) с использованием формул t_p и Δφ_p необходимо для обеспечения правильной толщины зуба на делительном круге (чтобы эвольвенты пересекали делительный круг в строгом месте). Иначе придётся вручную подгонять положение эвольвенты, что менее корректно.Использование французской кривой/лекала для сглаживания обеспечивает чистую линию между дискретными точками — лучше, чем попытки соединять отрезками.Указание допусков через ISO (ГОСТ) обеспечивает совместимость деталей и понятное требование к качеству изготовления; привязка допусков к модулю и классу точности — стандартная практика.

Контрольные проверки после построения

Измерить дугу между фланками на делительном круге — должна равняться s (п.5).Проверить пересечение эвольвенты с базовым и вершины: координатно измерить расстояния до центра.Проверить симметрию правой/левой эвольвенты относительно оси зуба.Оценить плавность профиля и радиусы в основании.

Короткий пример числового расчёта (для ориентира)
Допустим: m = 2 мм, z = 20, α = 20°.

R_p = m·z/2 = 2·20/2 = 20 мм;R_b = R_p·cos20° ≈ 20·0.9397 ≈ 18.79 мм;t_p = sqrt((20/18.79)^2 − 1) ≈ sqrt(1.1319 − 1) ≈ 0.3446;Δφ_p = arctan(0.3446) ≈ 19.0° (в радианах ≈ 0.332 rad);полуширина на делительном круге β = π/(2·z) = π/40 ≈ 4.5°;тогда ψ_right_base = φ_right_at_Rp − Δφ_p = (φ_center + 4.5°) − 19.0° = φ_center − 14.5° — это примерно положение начала базы для правой эвольвенты.

(Эти вычисления позволяют точно найти точку на базовом круге, откуда начинается «разворачивание».)

Заключение

Для ручного чертежа наиболее удобен комбинированный подход: вычисление теоретических стартовых углов по формулам + практическая постройка эвольвенты через метод «касательной + отложенная длина дуги» с дальнейшим сглаживанием французской кривой.На чертеже обязательно указывать ссылку на стандарт точности (ISO 1328-1 или соответствующий ГОСТ), требуемый класс точности, величину бокового зазора и допуски на диаметр/концентричность/толщину зуба. Для общих механизмов достаточно класса 7–9; для прецизионных передач — 4–6.

Если нужно, могу:

привести готовую пошаговую шпаргалку с рисунками (эскизами) каждого шага;подставить ваши конкретные входные данные (m, z, α, x) и выдать все численные значения и последовательность построения с конкретными углами и длинами.