Ниже — практическое руководство «на бумаге, без специальных инструментов» для построения эвольвенты боковой поверхности зуба шестерни, а также оценка погрешностей предлагаемого метода. Предполагается, что у вас есть: линейка, циркуль, карандаш, тонкая полоска бумаги или нитка/шнурок $вместо«стрингового»инструмента$, транспортир $повозможности$.

Кратко — две рабочих методики:

Метод A $простоеивесьматочное$ — «разматывание» нитки/полоски вдоль касательной к базовой окружности $имитациянатянутойнити$: получаем непрерывную эвольвенту.Метод B $геометрическая/дискретная$ — деление базовой окружности на N участков, в каждой точке строим касательную и на ней откладываем длину дуги базовой окружности $переданногоотцентра$ — получаем набор точек, соединяем их плавной линией.

Перед построением — необходимые вычисления $длямасштаба$:

Задать модуль m, число зубьев z и давление α $обычно20°$. Масштаб S $например1:1,1:2ит.п.$.Построить ось шестерни и окружности:
диаметp окружности делительного круга D = m·z, радиус R = D/2.базовая $base$ окружность: радиус Rb = R · cos α.окружность вершин $addendum$: Ra = R + a $обычноa=m$.
$ВсеразмерыумножитьилиразделитьнамасштабS.$Убедиться, до какого параметра φ нужно идти: для эвольвенты радиус r$\phi$ = Rb · sqrt$1+{\phi }^2$. Максимальный φ для пересечения с окружностью вершин найден из
φmax = sqrt$(Ra/Rb{)}^2-1$.
φ измеряется в радианах; длина нити/дуги от опорной точки = s = Rb·φ.

Метод A — «полоса/нить, намотка–размотка» $рекомендуетсядлябыстрогоиплавногоконтура$

На бумаге начертите центр, базовую окружность и направляющую касательную в точке P0 $обычноначинаетеотточки,откудабудет«разматываться»$.Вырежьте тонкую полоску бумаги или возьмите нитку. Зафиксируйте один конец полоски на базовой окружности в точке P0 $например,приклейтеилиприжмитекарандашом$. Другой конец держите натянутым.Перемещая точку прикрепления по базовой окружности $илитемжеспособом«разматывая»полоску$, ведите свободный конец полоски так, чтобы он всегда был натянут и касался окружности $касательная$. Отметьте точку кончика полоски на бумаге: он описывает эвольвенту.Продолжайте до пересечения с окружностью вершин Ra. Повторите симметрично для другой стороны зуба.

Комментарий: реальная «нить» идеально имитирует теоретическую конструкцию эвольвенты: при натяжении и разматывании конец нити описывает эвольвенту базовой окружности. При аккуратной работе погрешности малы и определяются в основном шириной линий и неточностью фиксации.

Метод B — дискретная геометрическая $безгибкогоинструмента$

Разделите базовую окружность на N равных дуг $угловыхшагов\Delta \phi =\phi max/Nилименьше;N=12\dots 40взависимостиотжелаемойгладкости—больше=лучше$.
Деление можно делать циркулем по хордам или транспортиром по центру.Для каждой точки Pi $угол\phi iотопорнойточкиP0;i=\mathrm{1..}N$:
a) Проведите касательную к базовой окружности в Pi $прямая,перпендикулярнаярадиусуOPi$.
b) Найдите длину дуги с P0 до Pi: si = Rb·φi. Перенесите эту длину на касательную: от точки Pi по касательной отложите расстояние si и получите точку Qi — точку эвольвенты для параметра φi.
Как переносить si на касательную без измерителя:
• Самая простая бытовая техника: приложить тонкую полоску бумаги вдоль дуги P0→Pi, метить на полоске конец дуги, затем распрямить полоску и перенести на касательную.
• Или шагать циркулем: выбрать маленький шаг на дуге $чтобышаговаядлинабылаудобна$ и одинаковым количеством шагов отсчитать и на касательной $этодаётприбл.переносдугичерезхордовыешаги$.Получив набор точек Qi, соедините их плавной линией мелким штрихом или мягкой кривой $ручнаяинтерполяция/лекало$ — это приближённая эвольвента.Сделайте зеркалирование для другой стороны зуба и отрежьте по окружности вершин/подошвы.

Оценка погрешностей

Источники погрешностей:

дискретизация φ $шаг\Delta \phi$: эвольвента аппроксимируется ломаной/гладкой интерполяцией между дискретными точками;аппроксимация дуги через последовательность хорд $еслидляпереносадлиныдугииспользуетсяшагциркуля$;неточность построения касательных $угловаяошибка$;толщина карандаша/линий и человеческий фактор при рисовании;погрешности начальных размеров $Rb,Ra$ и центрирования.

Численные оценки $приближённые$

Погрешность при аппроксимации дуги хордой.
Для малого шага Δφ $врадианах$ хорда длины c = 2·Rb·sin$\Delta \phi /2$ ≈ Rb$\Delta \phi -\Delta {\phi }^3/24+...$. Разность дуга−хорда на шаге ≈ r_b·Δφ^3/24.
За полный параметр φ_total $числошаговN={\phi }_{t}otal/\Delta \phi$ суммарная ошибка в переносе дуги ≈ Rb·φ_total·Δφ^2/24.
Пример: Rb = 18.8 мм, φ_total = 0.61 рад $\approx 35°$, Δφ = 5° = 0.0873 рад:
суммарная ошибка ≈ 18.8·0.61·$0.0873^2$/24 ≈ 0.0036 мм — пренебрежимо мала.
Даже при Δφ = 10° ошибка остаётся долями сотых миллиметра.

Погрешность от ломаной аппроксимации $сглаживаниемеждуточками$.
Максимальное отклонение ломаной $иликусочно-линейнойинтерполяции$ от гладкой эвольвенты на сегменте порядка O$L^2/(8\cdot \rho )$, где L ≈ Rb·Δφ — длина сегмента, ρ — радиус кривизны эвольвенты. Практически для Δφ ≤ 5–10° отклонения несколько сотых мм $вмасштабечертежа—незаметно$.

Погрешность от неточных касательных и переноса.

Угловая неточность θ_err в построении касательной смещает точку примерно на si · sin θ_err. Если θ_err = 0.5° = 0.0087 рад и si ≈ 10 мм → смещение ≈ 0.087 мм.Толщина карандаша $0.3–0.7мм$ даёт «погрешность рисунка» ±0.15–0.35 мм.

Выводы по точности:

При аккуратном выполнении методом A $нить/лента$ и аккуратной фиксации погрешности порядка долей миллиметра $зависятоттолщинылиниииаккуратности$.Метод B с шагом Δφ ≤ 5° даёт аппроксимацию с погрешностями порядка десятых и сотых миллиметра $напрактикеменеезначимы,чемтолщинакарандашаиошибкицентрирования$.Основная рекомендация: для «чертежной» точности на бумаге достаточно N = 12…36 шагов $\Delta \phi \approx 2\dots 10°$. Чем больше шагов — тем ровнее профиль.

Практические советы

Работайте увеличенным масштабом $например,2\times или5\times$, тогда относительная погрешность от толщины карандаша и человеческого фактора уменьшается.Используйте тонкий карандаш $0.3–0.5mm$ и мягкое ластикование для сглаживания кривой.Для получения очень ровного профиля можно после построения точек провести лекало $изплотногокартона$ по точкам и нарисовать окончательную кривую.Контролируйте симметрию: строьте одну сторону, зеркально переносите на другую по оси зуба.

Краткая шпаргалка $шагидлябыстрогоисполнения$

Расчёт: Rb, Ra, φmax = sqrt$(Ra/Rb{)}^2-1$.Наметьте базовую окружность и направление касательной.Метод A: нитка/полоска — разматывать вдоль касательной, отмечать и вести кончик. Метод B: разбить Rb дугу на N шагов, в каждой точке провести касательную и отложить на ней длину дуги $переносполоскойилишагамициркуля$.Соединить точки плавной линией, повторить симметрично.

Если нужно — могу:

дать конкретную пошаговую последовательность с примерами вычислений для заданных m, z, α и масштаба;прислать маленькую «шаблонную» таблицу значений φi, si и координат Qi для выборки N.