Кратко и по делу — шаги ручной геометрической постройки и в CAD, формулы масштаба, типичные погрешности и способы их уменьшения.
Основные обозначения:
- заданный круг с центром $O$ и радиусом $R$ (реальный размер);
- заданная прямая $l$;
- требуемый радиус сопряжения (филетки) в реале $r$;
- масштаб чертежа $1:5$ — на листе чертёжный радиус $r^{\prime }=\frac{r}{5}$, окружность на листе имеет радиус $R^{\prime }=\frac{R}{5}$.
A. Ручная геометрическая постройка на листе (масштаб $1:5$)
1. Подготовка:
- Переведите размеры в масштаб: $r^{\prime }=\frac{r}{5}$, $R^{\prime }=\frac{R}{5}$.
- Нанесите на бумагу центр $O$, проведите прямую $l$ и постройте исходную окружность радиусом $R^{\prime }$.
2. Постройка параллельной прямой на расстоянии $r^{\prime }$:
- Возьмите две точки $A,B$ на $l$. Через каждую проведите перпендикуляр к $l$.
- На каждом перпендикуляре отложите отрезок длины $r^{\prime }$ в сторону круга; соедините полученные точки — это параллельная прямая $l^{\prime }$, отстоящая от $l$ на $r^{\prime }$.
3. Постройка возможных центров сопряжения:
- Для внешней (вне окружности) касательной окружности: проведите окружность с центром $O$ и радиусом $R^{\prime }+r^{\prime }$.
- Для внутренней (внутри окружности) касательной: используйте радиус $|R^{\prime }-r^{\prime }|$.
- Пересечения $l^{\prime }$ с соответствующей окружностью дают возможные положения центров $C$ окружности сопряжения.
4. Постройка сопряжения:
- Проведите окружность с центром в найденном $C$ и радиусом $r^{\prime }$.
- Точка касания с прямой — основание перпендикуляра из $C$ на $l$.
- Точка касания с исходной окружностью — пересечение луча $OC$ с исходной окружностью на расстоянии $R^{\prime }$ от $O$.
5. Проверки и замечания:
- Если пересечений нет — радиус $r$ слишком велик или прямая слишком далеко; пересчитайте.
- Все измерения выполнять компасом и линейкой с учётом масштаба $r^{\prime }=r/5$.
B. Постройка в CAD (рекомендации)
1. Подход 1 — чертить в масштабе листа ($1:5$):
- Установите единицы в мм; все размеры задавайте уже уменьшенными: используйте $r^{\prime }=\frac{r}{5}$, $R^{\prime }=\frac{R}{5}$.
- Команды (пример AutoCAD): OFFSET → расстояние $r^{\prime }$ → выбрать $l$ → сторону к окружности; затем CIRCLE (центр $O$, радиус $R^{\prime }+r^{\prime }$); INTERSECT точки пересечения с $l^{\prime }$ → построить окружность центра $C$ радиусом $r^{\prime }$. Или используйте FILLET: FILLET → RADIUS = $r^{\prime }$ → выбрать объекты (line, circle).
2. Подход 2 (рекомендуемый) — моделировать в натуральную величину ($1:1$):
- Работайте в реальных размерах $r,R$. В CAD оставляйте модель 1:1, при выводе на печать используйте масштаб вида $1:5$.
- В 2D: команда FILLET (или Sketch Fillet в параметрических CAD) — задайте радиус $r$ и выберите объекты; система автоматически вычислит центр и точки касания.
- В 3D/тело: используйте инструмент Fillet/Edge-Fillet и контролируйте геометрию.
3. Практические советы в CAD:
- Проверьте и задайте корректные единицы и точность (точность ввода и отображения).
- Используйте привязки (OSNAP) и координаты, чтобы избежать ручных измерений.
- Для CAM — экспортировать геометрию 1:1 и учитывать инструментальные компенсации.
C. Формулы и контрольные расстояния (в масштабе чертежа)
- масштабный радиус: $r^{\prime }=\frac{r}{5}$.
- масштабный радиус окружности: $R^{\prime }=\frac{R}{5}$.
- расстояние от центра исходной окружности $O$ до центра сопряжения $C$ для внешней касательной: $OC=R^{\prime }+r^{\prime }$.
- для внутренней касательной: $OC=|R^{\prime }-r^{\prime }|$.
D. Типичные источники погрешности при переводе в производство и способы их уменьшения
1. Ошибки масштаба и единиц
- Причина: неверный перевод размеров (забыт $1:5$ или путаница мм/мм).
- Уменьшение: в CAD работать в $1:1$; на чертеже явно указывать масштаб $1:5$ и приводить основные размеры в реальном размере (выносить размер $r$ как номинал), не полагаться на измерение по печати.
2. Погрешности ручной постройки (компас, линейка)
- Причина: неточная установка радиуса, толщина линий, человеческий фактор.
- Уменьшение: использовать шаблон/шаблонные размеры, микрометрические приборы, строить контрольные узлы (перпендикуляры, центры) и проверять компасом; по возможности готовить цифровую модель.
3. Округления и числовая точность в CAD/экспорте
- Причина: округление координат, низкая точность вывода в DXF/STEP.
- Уменьшение: повышать точность документа (units, tolerances), при экспорте задавать достаточную точность, предпочитать векторные форматы с высоким разрешением.
4. Инструментальные и технологические допуски (производство)
- Причина: радиус резца, допуски станка, термическая деформация.
- Уменьшение: учитывать радиус инструмента (компенсация инструмента, tool radius compensation); задавать допуски на чертеже; при фрезеровке задавать траекторию с учётом $r_{tool}$ (смещение пути на $r_{tool}$).
5. Интерпретация чертежа на производстве
- Причина: толстые линии, отсутствие указания реальных размеров и допусков.
- Уменьшение: на чертеже указывать номинальный радиус $r$ и допуск, наносить контрольные размеры в реальных единицах, добавлять примечание о масштабе.
6. Геометрические несовместимости (нет решения)
- Причина: заданный $r$ слишком велик и не допускает касания.
- Уменьшение: проверить условие существования: для внешней касательной расстояние от $O$ до прямой должно быть $\le R+r$ (в масштабе $\le R^{\prime }+r^{\prime }$); иначе уменьшить $r$ или скорректировать расположение.
E. Короткая сводка действий для передачи в производство
- На чертеже указывать реальный номинал $r$ и допуски, ставить масштаб $1:5$.
- Для изготовления отдавать CAD-файлы в $1:1$ или четко прописывать масштаб/единицы.
- Указывать необходимую компенсацию резца/инструмента.
- Контроль: измерять радиус и точки касания приборно (шаблоны, КИМ).
Если нужно — приведу конкретный пример с числовыми значениями (реальный $r$ и $R$), и дам точную геометрическую постройку шаг‑за‑шагом под эти числа.