Пошагово (классические построения циркулем и линейкой) и краткое обоснование применения.
1) Построение касательной к окружности из внешней точки P
- Условие: дана окружность с центром $O$ и внешняя точка $P$.
- Шаги:
1. Построить отрезок $OP$.
2. Найти середину $M$ отрезка $OP$ (построение перпендикуляров/пересечений окружностей).
3. Провести окружность с центром $M$ и радиусом $MO$ (это окружность с диаметром $OP$).
4. Точки пересечения этой окружности и данной окружности — точки касания $T_1,T_2$.
5. Провести прямые $P{T}_1$ и $P{T}_2$ — они являются касательными.
- Обоснование корректности: для точки касания $T$ треугольник $OTP$ прямоугольный в $T$, поэтому $T$ лежит на окружности с диаметром $OP$. Радиус $OT$ перпендикулярен касательной $PT$.
(Если нужно касательную в заданной точке $A$ на окружности: провести радиус $OA$ и через $A$ провести перпендикуляр к $OA$.)
Практическое применение:
- Поиск точек контакта при сопряжении деталей, расчёт точек опоры/касания колёс и роликов, построение скруглений (филетов) между дугами — гарантирует точное нормальное касание, важно для передач нагрузки и снижения концентраций напряжений.
2) Построение биссектрисы угла $\angle BAC$ - Условие: задан угол с вершиной $A$ и лучами $AB$, $AC$.
- Шаги:
1. От точки $A$ описать окружность произвольного радиуса, пересекающую оба луча в точках $D$ и $E$.
2. С центров $D$ и $E$ описать окружности одинакового радиуса, пересекающиеся в точке $F$ внутри угла.
3. Провести прямую $AF$ — это биссектриса угла $\angle BAC$.
- Обоснование корректности: точки на биссектрисе равноудалены от сторон угла; конструкция даёт точку $F$, у которой равные расстояния до прямых $AB$ и $AC$.
Практическое применение:
- Центрирование элементов, проектирование симметричных деталей, направление равномерного распределения нагрузок и потоков (лучи освещения, траектории реза), упрощение расчётов за счёт разложения углов на равные части.
3) Деление отрезка $AB$ в заданном отношении $AX:XB=m:n$ (внутреннее деление, $m,n$ — натуральные)
- Шаги:
1. Из точки $A$ провести произвольный луч $a$.
2. На луче $a$ отложить последовательно $m+n$ равных звеньев точками $A_1,\dots ,A_{m+n}$ (циркулем).
3. Провести прямую от $A_{m+n}$ к $B$.
4. Через точку $A_m$ провести прямую, параллельную $A_{m+n}B$; она пересечёт отрезок $AB$ в искомой точке $X$.
- Формула положения: если рассматривать векторно, то
$$X=\frac{nA+mB}{m+n},AX=\frac{m}{m+n}AB.$$ - Примечание: для внешнего деления аналогично берут противоположное направление или используют знаковые доли.
Практическое применение:
- Масштабирование и пропорциональное расположение элементов (отверстия, крепления), распределение зазоров, расчёт плеч рычагов и моментов (позиция точки приложения силы при заданном распределении $m:n$), аппроксимация и интерполяция при построении расчётных схем (разбиение в сетках, узлах). Формула векторного усреднения используется в методах конечных элементов и при вычислении центров давления/массы.
Короткое обоснование общей значимости
- Эти конструкции дают точные геометрические элементы: касательные задают точки нормального контакта, биссектрисы — оси симметрии и равномерного распределения, деление отрезка — точные пропорции и точки приложения нагрузок. В конструкторской практике и при составлении расчётных схем такие геометрические приёмы служат для построения вспомогательных линий, контроля правильности сопряжений, аналитической постановки задач (аналогия с векторными формулами и подобием треугольников позволяет переходить к численному расчёту).