1) Входные данные и расчёт базовых величин
- Модуль $m$, число зубьев $z$, давление (угол профиля) $\alpha$.
- Одиночный радиус делительного круга $r=\frac{mz}{2}$, базовый радиус
$r_b=r\cos \alpha .$
- Радиус вершин зуба (приближённо) $r_a=r+m$ и корня $r_f$ (по стандарту ≈ $r-1.25m$ или по чертежу).
2) Параметризация эвольвенты (формулы для расчёта точек)
- Параметр $t$ — угол радиуса базовой окружности до точки касания (радиан). Тогда координаты точки эвольвенты в системе с центром колеса:
$$x(t)=r_b(\cos t+t\sin t),y(t)=r_b(\sin t-t\cos t).$$ - Полярный радиус: $r(t)=r_b\sqrt{1+t^2}.$
- Максимальный параметр по внешнему контуру (до $r_a$):
$t_{\max }=\sqrt{(\frac{r_a}{r_b}{)}^2-1}$.
3) Выбор допуска и шага построения (учёт инструментальных ограничений)
- Задать допускаемую chordal‑ошибку (максимальную допускную удалённость от истинной эвольвенты) $\epsilon$ (например 0{.}02…0{.}1 мм для ручной разметки).
- Оценить локальный радиус кривизны эвольвенты:
$$\rho (t)=\frac{1}{\kappa (t)}=r_b\frac{(1+t^2{)}^{3/2}}{t}(t>0).$$ - Ограничение на линейный шаг вдоль кривой $\Delta s$, чтобы хорда отклонялась не более $\epsilon$: приближённо
$\Delta s\approx \sqrt{8\rho (t)\epsilon }.$
- Перевести в приращение параметра:
$\Delta t\approx \frac{\Delta s}{r_b\sqrt{1+t^2}}.$
- Учесть инструмент: минимальное измеримое/проводимое расстояние (линия карандаша, деление штангенциркуля или циркуля) задаёт нижнюю границу $\Delta s_{\min }$. Выберите $\Delta s=\max (\Delta s,\Delta s_{\min })$.
4) Поэтапное ручное построение (метод «деление и касательные»)
a) Нанесите базовую окружность радиуса $r_b$.
b) Отметьте начальную точку на базовой окружности (обычно точка пересечения с осью симметрии зуба).
c) Для $t$ от $0$ до $t_{\max }$ с шагом $\Delta t$:
- на базовой окружности отложите угол $t$ (или длину дуги $s=r_{b}t$) и отметьте точку касания $B(t)$;
- через $B(t)$ постройте касательную к базовой окружности;
- отложите на этой касательной отрезок длины $s=r_{b}t$ от точки касания в сторону разворачивания — получаете точку эвольвенты $P(t)$. (Это эквивалент параметрическим формулам.)
d) Соедините полученные точки плавной кривой с использованием лекала/французской кривой/ровного штриха, следя за отсутствием резких перегибов.
e) Симметрично постройте вторую сторону профиля относительно оси зуба. Отсеките профиль по кругу вершин $r_a$ и по кругу корней $r_f$.
5) Проверки и корректировки (критические этапы контроля)
- Контроль базовой окружности: погрешность $r_b$ напрямую меняет профиль (проверьте рейсфедером/штангеном). Это критично: неверный $r_b$ — неправильный угол контакта.
- Точность деления базовой окружности по углам $t$: ошибка угла переводится в смещение точек эвольвенты — используйте делительный прибор или шаблон.
- Контроль длины отрезков на касательной (измерение $s=r_{b}t$): применяйте гибкий измеритель (шнурок, полоску бумаги) или точные штанги. Ошибка здесь искажает профиль линейно.
- Проверка chordal‑ошибки: для каждых двух соседних построенных точек измерьте расстояние от хорды до рисующей линии; оно не должно превышать $\epsilon$. Если превышает — уменьшите $\Delta t$.
- Проверка толщины зуба на делительном круге: геометрически толщина должен быть $s_p=\frac{\pi m}{2}$ (или по чертежу). При необходимости сдвигайте левую/правую стороны зуба симметрично.
- Контроль формообразования у корня (филетка): проверьте, не уходит ли эвольвента ниже корневого круга $r_f$ (может привести к недонасечению/подрезу). Если есть подрез, пересмотрите число зубьев/параметры или добавьте радиус скругления.
- Проверка сопряжения (практический тест): для пары зубчатых колёс — метод «катание друг по другу» на бумажной модели/шаблоне; наблюдать за равномерностью зацепления и постоянством расстояния между центрами точек касания. Не должно быть рывков/пробоев.
6) Учёт инструментальных ограничений и компенсация
- Толщина линии/ширина фрезы: при ручном построении компенсируйте ширину инструмента — профиль должен быть смещён (вырезан/отфрезерован) с учётом радиуса инструмента (offset).
- Минимальное разрешение деления и ровность лекала ограничивают $\Delta t$ — если инструмент груб, выбирайте большие $\epsilon$ и увеличьте сглаживание.
- При необходимости применяйте шаблоны (готовые лекала эвольвенты) для финальной подрисовки — шаблон должен быть сделан с точностью выше требуемой.
Краткий контрольный чек‑лист перед завершением:
- правильный $r_b$ (проверка),
- шаг $\Delta t$ обеспечивающий $\epsilon$,
- плавность соединения точек (лекало),
- зубная толщина на делительном круге верна,
- эвольвента не пересекает корневой круг (нет подреза),
- учтён радиус режущего инструмента.
Эти этапы и формулы дают методичный, проверяемый и настраиваемый процесс ручного построения эвольвенты с учётом допуска и инструментальных ограничений.