Алгоритм (коротко, шаги — ручной и цифровой) для сопряжения "дуга–дуга" и "прямая–дуга", критерии выбора метода и последствия неточного сопряжения.
1) Обозначения общие
- Для двух дуг: центры $O_1,O_2$, радиусы $R_1,R_2$. Желаемый радиус сопряжения $r$. Выбор типа касания для каждой дуги: внешнее (+) или внутреннее (−). Вводим расстояния до центра сопряжения: $d_1=R_1\pm r,d_2=R_2\pm r$ (знак «−» допустим только если $R_i>r$ для внутренней касательности).
- Для прямой: линия задана точкой $L_0$ и единичным направлением $t$; нормаль $n$ — поворот $t$ на $90^{\circ }$.
2) Дуга–дуга (алгоритм, цифровой и ручной — общий математический базис)
a) Проверка достижимости: пусть $d=|O_2-O_1|$. Решение существует только если
$$|d_1-d_2|\le d\le d_1+d_2.$$ b) Найти центр(ы) сопряжательной окружности $O$ как пересечения двух окружностей центров $O_1,O_2$ радиусов $d_1,d_2$. Вычисления:
$$a=\frac{d_1^2-d_2^2+d^2}{2d},h=\sqrt{\max (0,d_1^2-a^2)}.$$ Пусть $u=(O_2-O_1)/d,P=O_1+au,v=$ поворот $u$ на $90^{\circ }$. Тогда
$$O=P\pm hv.$$ c) Находятся точки касания:
$$T_1=O_1+\frac{R_1}{d_1}(O-O_1),T_2=O_2+\frac{R_2}{d_2}(O-O_2).$$ d) Ручной вариант: начертить вокруг $O_1$ окружность радиуса $d_1$ и вокруг $O_2$ радиуса $d_2$ (компасом) — их пересечения дают центр(ы) $O$; от центра отложить радиус $r$ — начертить сопрягающую дугу, удалить участки исходных дуг между точками касания, соединить. (Если пересечений нет — изменить $r$ или тип касания.)
3) Прямая–дуга
a) Сместить прямую на расстояние $s=\pm r$ в сторону, где должен лежать центр сопряжения: $L_0^{\prime }=L_0+sn$. (Ручной: параллельная линия через точку, отложенная перпендикулярно.)
b) Найти пересечение смещённой прямой и окружности центра $O_1$ радиуса $d_1=R_1\pm r$. Технически: проекция центра на линию $l=⟨O_1-L_0^{\prime },t⟩$, ближайшая точка $C=L_0^{\prime }+lt$, расстояние $m=|O_1-C|$. Если $m>d_1$ — решения нет; иначе $\delta =\sqrt{d_1^2-m^2}$ и центры
$$O=C\pm \delta t.$$ c) Точка касания на дуге: $T_1=O_1+\frac{R_1}{d_1}(O-O_1)$. Точка касания на прямой — ортопроекция $O$ на исходную прямую.
d) Ручной вариант: провести параллельную прямую на расстоянии $r$ (шаблон, лекало, циркуль+линейка), найти пересечение с окружностью радиуса $d_1$, отложить центр и далее как выше.
4) Практические цифровые шаги (CAD/скрипт)
- Смещение кривых/контуров на нужные расстояния (offset).
- Нахождение пересечений offset-кривых; фильтрация по параметрам (попадает ли точка пересечения внутрь сегментов/дуг).
- Выбор корректного решения по ориентации (внешнее/внутреннее) и по направлению касательных.
- Вычисление точек касания и создание новой дуги радиуса $r$ с найденным центром; усечение исходных кривых.
- Проверка на пересечения/перекрытия и на минимальные допустимые радиусы; если нет решения — предложить уменьшить/увеличить $r$ или заменить на сопряжение другим типом (биарка, сплайн, клотхоид).
5) Критерии выбора метода сопряжения
- Геометрические: относительное расположение кривых (расстояние центров, углы), возможность решения (существование пересечений offset-кривых).
- Требуемая плавность: G1 (касательность) даёт простое окружностное сопряжение; для G2 (непрерывность кривизны) требуются более сложные переходы (клотхоиды, сплайны, биарки).
- Точность изготовления: если радиус меньше допустимого резца/приспособления, нужно учесть радиус инструмента (tool radius compensation).
- Функция детали: нагрузки (усталостная стойкость требует более толстых радиусов), герметичность, эстетика.
- Ограничения чертежа/ГОСТ/стандартов (минимальные радиусы, допуски).
- Простота конструирования/расчёта и требования CAD/CAM.
6) Последствия применения неточного (или отсутствующего) сопряжения в механической детали
- Увеличение концентрации напряжений при уменьшении радиуса -> снижение ресурса при циклических нагрузках (усталость). Чем меньше $r$, тем выше фактор концентрации напряжений $K_t$ (непропорциональный рост).
- Интерференция / зазор в соединениях: слишком большой радиус может привести к мешающему выступу или нарушить размерный ряд и посадку.
- Проблемы при обработке: несоответствие радиуса инструменту приведёт к пересмотру траекторий фрезы/резца, возможны задиры, необходимость дообработки.
- Герметичность/уплотнения: плохая геометрия сопряжений может нарушить работу прокладок/сальников.
- Сборка и эксплуатация: увеличенные люфты или закусывания при стыках; повышенный износ.
- Влияние на допуски: неточное сопряжение меняет функциональные размеры и может вывести деталь из допусков.
- Рекомендация: при сомнениях проверять сопряжение анализом напряжений (FEA) и подбирать радиус с учётом технологических ограничений.
Короткие практические рекомендации
- Всегда проверяйте существование решения для заданного $r$ прежде чем чертить. Если нет — измените $r$ или тип касания.
- Для высоких требований к прочности или динамике используйте плавные переходы G2 (клотхоиды/сплайны).
- При ручном черчении используйте построение через смещённые окружности/параллельную линию и пересечение — это простейший и надёжный способ.
Если нужно, могу дать короткий пример числового расчёта (конкретные координаты O1,O2,R1,R2 и r) с вычислением центра(ов) и точек касания.