Кратко и по существу — сравнение по задачам «деление отрезка» и «построение касательной», с указанием когда что эффективнее и почему.
Общие различия
- Классическое геометрическое построение (циркуль + линейка, приёмы): даёт строгое эвклидово построение, точные (в теоретическом смысле) результаты для конструктивно допускаемых чисел (посредством конечной цепочки операций с извлечением квадратных корней). Хорошо для доказательной геометрии, ручной чертёжной работы, обучающих задач и ситуаций, где нужно получить «чистое» построение без вычислений.
- Аналитические/алгоритмические подходы (САПР, численные/символьные методы): работают с координатами, векторной параметризацией, производными, решением уравнений и приближениями; универсальны, автоматизируемы, пригодны для сложных кривых (NURBS, сплайны), оптимизаций и масштабируемых параметрических моделей. Позволяют контролировать точность и учесть допуски.
Деление отрезка
- Классический способ: через подобие треугольников (параллельные прямые). Прост и наглядно выполняется инструментально. Для деления в отношение $m:n$ строят вспомогательную лучевую разбивку на $m+n$ равных частей и проводят параллельные. Ограничение: ручной труд, погрешность линейного черчения.
- Аналитический способ (САПР): координатная формула для точки деления в отношении $t=\frac{m}{m+n}$:
$$P=A+t(B-A),$$ где $A,B$ — координаты концов отрезка. Легко обобщается на дробные/нецелые отношения, масштабируемо и точно в плавающей арифметике с заданным допуском. Векторный/матричный аппарат позволяет массово делить наборы отрезков и сохранять зависимость параметров.
Эффективность:
- Ручной метод — эффективен при одном-двух построениях без компьютера и для учебных целей.
- Аналитический — эффективен при программировании, массовом повторении, параметрическом моделировании, когда нужно точное численное значение или адаптивная точность.
Построение касательной
- Классические приёмы:
- К окружности: касательная через точку $T$ строится как перпендикуляр к радиусу $OT$. Для касательных из внешней точки $P$ используются симметрии/построение секущей и медианы или теорема о мощности точки — геометрическое построение точек касания.
- К алгебраическим кривым высокой степени вручную практично только для простых случаев (парабола: свойство фокуса и директрисы; касательная через точку строится геометрическими свойствами).
Ограничения: для общих гладких кривых (сплайнов, NURBS, сложные алгебраические кривые) ручные приёмы либо не применимы, либо громоздки.
- Аналитический/алгоритмический подход:
- Для параметрической кривой $r(t)=(x(t),y(t))$ касательное направление — вектор $r^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$.
- Для неявной кривой $F(x,y)=0$ уравнение касательной в точке $(x_0,y_0)$:
$$F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0.$$ - Для окружности/эллипса/CAD-сплайнов используются аналитические формулы или численное нахождение корней/условий ортогональности/пересечений; для NURBS есть алгоритмы вычисления параметра точки касания и производных.
- Численные методы: метод Ньютона для решения системы уравнений, вычисление производных численно (finite differences) или аналитически при наличии формулы, устойчивые алгоритмы для пересечений, обработка вырожденных случаев (сингулярности).
Эффективность:
- Классические приёмы — быстры и точны для простых фигур (окружность, парабола, прямая) и если требуется строгое геометрическое построение без вычислений.
- САПР/аналитика — необходимы для:
- сложных кривых (NURBS, сплайны), где касательная определяется через параметры и производные;
- задач, требующих автоматизации, оптимизации или учёта технологических допусков;
- ситуаций, где требуются касательные между произвольными объектами (offsets, расчёт переходных кривых) и массовые расчёты.
Точность, устойчивость и вычислительная сложность
- Классические построения теоретически «точны», но в реальности ограничены точностью инструментов; невозможны для конструкций, неразрешимых циркулем и линейкой (например, трисекция общего угла).
- Аналитические/численные методы дают гибкую контрольную точность; требуют внимания к численной устойчивости (погрешности округления, плохо обусловленные системы) и обработке вырожденных/особых случаев. Символьные методы (CAS, вычисления в точной алгебраической арифметике) могут дать «теоретически точные» результаты, но дороже по времени.
Рекомендации (когда что выбирать)
- Использовать классические методы когда:
- задача учебная или доказательная;
- требуется построение вручную/на бумаге;
- объекты просты (окружности, параболы, простые треугольники) и решение должно быть «евклидовым».
- Использовать аналитические/алгоритмические методы в САПР когда:
- объекты сложные (NURBS, поверхности), много касательных/делений, требуется автоматизация;
- нужна адаптивная точность и учёт допусков изготовления;
- требуется параметризация и управление дизайн-интенцией (параметрические модели);
- нужно решать общие случаи (пересечения, касательные между разными типами объектов) эффективно и воспроизводимо.
Коротко о гибриде
- Часто практически оптимально сочетать: использовать геометрические соображения для упрощения постановки задачи, а затем решать численно/аналитически в САПР (например, определить параметр, затем найти точку касания численно с улучшением через Newton).
Если нужно, могу привести конкретные алгоритмы или схемы построения для выбранного случая (например, шаги в САПР для касательной к NURBS или построение деления отрезка с плавающей точностью).