В данной задаче нам нужно составить закон распределения случайной величины, которая обозначает число семестровых экзаменов, сдаваемых студентом по дисциплинам А и Б. Обозначим:

( A ) — событие, что студент сдал экзамен по дисциплине A, с вероятностью ( P(A) = 0,3 ).( B ) — событие, что студент сдал экзамен по дисциплине B, с вероятностью ( P(B) = 0,5 ).

Назовем случайную величину ( X ) — число экзаменов, которые студент сдаст (то есть 0, 1 или 2 экзамена).

Чтобы составить закон распределения, вычислим вероятности для всех возможных значений ( X ):

Вероятность не сдать ни один экзамен (( X = 0 )):
[
P(X = 0) = P(A') \cdot P(B') = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) = (1 - 0,3) \cdot (1 - 0,5) = 0,7 \cdot 0,5 = 0,35
]

Вероятность сдать один экзамен (( X = 1 )):
Существует два варианта:

Сдал экзамен по A, не сдал по B:
[
P(A \cap B') = P(A) \cdot P(B') = 0,3 \cdot 0,5 = 0,15
]Не сдал экзамен по A, сдал по B:
[
P(A' \cap B) = P(A') \cdot P(B) = 0,7 \cdot 0,5 = 0,35
]
Таким образом, вероятности для ( X = 1 ):
[
P(X = 1) = P(A \cap B') + P(A' \cap B) = 0,15 + 0,35 = 0,50
]

Вероятность сдать оба экзамена (( X = 2 )):
[
P(X = 2) = P(A) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,5 = 0,15
]

Теперь можем подвести итог и записать закон распределения случайной величины ( X ):

[
\begin{align}
P(X = 0) & = 0,35 \
P(X = 1) & = 0,50 \
P(X = 2) & = 0,15 \
\end{align}
]

Все вероятности в сумме дают 1:

[
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,35 + 0,50 + 0,15 = 1
]

Таким образом, закон распределения числа экзаменов, которые сдаст студент, выглядит следующим образом:

( P(0) = 0,35 )( P(1) = 0,50 )( P(2) = 0,15 )