Все дело в различии используемого времени, а именно:

The weather is changing now - время present continuous. Образуется по формуле: to be+Ving $is-однаизформглаголаtobe$. Соответственно, is в данном случае используется для выражения времени.

The weather changes every day - время present simple. Образуется при помощи первой формы глагола $вданномслучаесдобавлениемокончанияs,посколькуподлежащееможнозаменитьместоимениемтретьеголицаединственногочисла$.

The weather is changing now

В данном предложении речь идет о том, что происходит сейчас, в данный момент, в момент речи, поэтому употребляем Present Progressive $Continuous$, где глагол состоит их двух частей am / is / are + Ving

The weather changes every day

В данном предложении речь идет о том, что происходит регулярно, постоянно, в данном случае, каждый день.Поэтому употребляем Present Simple, где глагол представляет собой форму инфинитива без частицы to. К глаголу добавлено окончание -$e$s, т.к. подлежащее в форме 3-го л. ед. ч.