"Don't" (сокращение от "do not") используется, когда нужно отрицательное выражение с глаголом "do" в настоящем времени, например: "Don't eat that cake" (Не ешь это пирог). А "not" используется с другими глаголами или частицами отрицания, например: "I am not going to the party" (Я не иду на вечеринку).