Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и теоремой косинусов.

Имеем треугольник ( ABC ) с углом ( A = 45^\circ ), углом ( B = 60^\circ ) и стороной ( BC = 3\sqrt{6} ). Нам нужно найти сторону ( AC ).

Сначала найдем угол ( C ):
[
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ.
]

Теперь можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу угла напротив этой стороны постоянно для всех трёх сторон:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},
]
где ( a = BC ), ( b = AC ), ( c = AB ).

Позначим:

По теореме синусов:
[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}.
]

Подставляем известные значения:
[
\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}.
]

Значения синусов:
[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]

Теперь можем записать уравнение:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.
]

Упрощаем правую часть:
[
\frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{3}.
]

Теперь подставляем и решаем для ( AC ):
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3}.
]

Умножаем обе стороны на ( \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
AC = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9.
]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна ( 9 ).