Кратко — главное различие: ньютоновская механика со строго обратно-пропорциональной силой задаёт замкнутые эллиптические орбиты (для чистой двухтелесной задачи), тогда как общая теория относительности (ОТО) даёт дополнительную релятивистскую поправку к движению, приводящую к ненулевому доперигелию (прецессии орбиты) и к другим эффектам (искривление света, временные задержки, гравитационное красное смещение).
Ключевые уравнения и оценки
- Ньютон: для двух тел при силе $F=GMm/r^2$ орбита в полярных координатах имеет вид
$$r(\varphi )=\frac{p}{1+e\cos \varphi },$$ и при отсутствии возмущений замкнута (нет дополнительной перигелийной прецессии).
- В ОТО приближённое уравнение для $u(\varphi )=1/r(\varphi )$ даёт дополнительный член:
$$\frac{d^{2}u}{d{\varphi }^2}+u=\frac{GM}{h^2}+3\frac{GM}{c^2}{u}^2,$$ и это ведёт к смещению перицентра за оборот (малые параметры):
$$\Delta {\varphi }_{\mathrm{GR}}=\frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}$$ (в радианах за один оборот). Для Меркурия это даёт приближённо
$$\Delta {\varphi }_{\mathrm{GR}}\approx 43^{\prime \prime }\text{(угловых секунд) в столетие}.$$
Другие релативистские эффекты, важные при наблюдении:
- Отклонение света у края Солнца:
$$\delta {\theta }_{\mathrm{GR}}=\frac{4GM}{b{c}^2},$$ где $b$ — расстояние сближения луча к центру (на солнечном лимбе даёт $\delta \theta \approx 1.75^{\prime \prime }$). Ньютонова «корпускулярная» оценка (только как проекция скорости) даёт половину этого значения.
- Шапиро‑задержка (временная задержка радиосигнала при прохождении около массы) — измеряется радиолокацией и радиоинтерферометрией.
- В системах с сильной гравитацией: более крупные перицентральные прецессии, гравитационно‑волновая потеря энергии (убывание орбиты в двойных пульсарах).
В каких наблюдательных ситуациях различия критичны
- Малые $a$ (близкие орбиты), большие массы $M$ и большие эксцентриситеты $e$ увеличивают $\Delta {\varphi }_{\mathrm{GR}}$. Следовательно: планеты, ближайшие к звезде (Меркурий у Солнца), звезды вокруг чёрных дыр (звезда S2 у Стрельца A*), компактные двойные пульсары.
- Для света: прохождение лучей вблизи массивных объектов (солнечные затмения, гравитационное линзирование).
- Для времени и радиосвязи: радиотрассы, проходящие у массивного тела (Shapiro delay), и высокоточное космическое слежение (радиорадар, VLBI, интерферометрия).
Исторические измерения
- Аномалия перигелия Меркурия: ещё в XIX веке Леверье и Понтекорво обнаружили лишние $\sim 43^{\prime \prime }/$век, которые не объяснялись ньютоновскими возмущениями от других планет. В 1915 г. Эйнштейн рассчитал и показал, что ОТО даёт именно это значение.
- 1919 год: экспедиции Эддингтона и др. измерили смещение видимых позиций звёзд во время полного солнечного затмения; полученный результат (приблизительно $1.6^{\prime \prime }$ с погрешностью) подтвердил предсказание ОТО ($\approx 1.75^{\prime \prime }$) и стал первым известным крупным тестом ОТО.
- Дальнейшие точные проверки: радиолокация и VLBI (десятки микроугловых секунд), эксперимент Кассини (Shapiro delay) подтвердил параметры ОТО до высоких точностей; измерения в двойных пульсарах подтвердили прецессию перигелия и гравитационно‑волновые потери; наблюдения звезды S2 и инструмента GRAVITY у Sgr A* измерили релятивистский сдвиг перицентра и гравитационное красное смещение.
Краткий итог: для умеренно слабой гравитации и больших радиусов ньютоновская механика + возмущения даёт близкие результаты, но при большом $GM/(a{c}^2)$ и для лучевой геометрии (свет) релятивистские поправки становятся измеримыми и тогда ОТО даёт отличную и подтверждённую предсказательную силу (примерно: перигелий Меркурия, 1919 год, двойные пульсары, S2 вокруг Sgr A*).