Кратко — в чём проблема, и какие есть решения.

1) Как парадокс лжеца и парадоксы самоотнесённости ставят под сомнение классическую двузначную логику

Парадокс лжеца (напр., «Это предложение ложно.») приводит к противоречию при допущении классических принципов:
Если предложение истинно, то по его содержанию оно ложно → противоречие.Если оно ложно, то по содержанию оно истинно → тоже противоречие.Следствие: стандартные аксиомы классической логики оказываются под угрозой:
Бивалентность (каждое утверждение либо истинно, либо ложно) оказывается сомнительной — могут возникать «промежуточные» случаи.Закон невопротиворечия и закон исключённого третьего формально вступают в конфликт с самоотносящимися предложениями.В классической логике противоречие «взрывает» систему (ex contradictione quodlibet — из противоречия следует всё), что делает такую теорию тривиальной, если допустить самоотносящиеся противоречия.Похожие трудности дают и более сложные самоотнесённые конструкции (Гёдель использует самоссылку, но там цель — показать неполноту формальных систем, не прямое логическое «взрывательство»).

2) Основные типы альтернативных подходов (коротко по идеям и примерным плюсам/минусам)

Ограничение самоссылки / иерархии языков (Тарский)

Идея: запретить или разделить язык на уровни (объектный язык и метаязык), чтобы нельзя было формировать предложения «об истинности» в том же языке.Плюсы: устраняет парадокс чисто формально; сохраняет классическую логику.Минусы: выглядит искусственно/ограничительно, мешает естественной формулировке многих рассуждений о смысле и истине.

Теории фиксированной точки и частичная семантика (Крипке, ревизионные теории)

Идея: задать оператор «истинно» и найти фикс‑точку итерации смыслов; некоторые выражения остаются неопределёнными (не имеют значения «истина/ложь»).Примеры: теория Крипке даёт минимальную частичную модель, где парадоксальные предложения имеют «отсутствие значения».Плюсы: формально стройно, естественно моделирует частичную определённость.Минусы: остаётся «пробел» — предложения без значения; поведение связок надо уточнять.

Многозначная логика (Łukasiewicz, Kleene, Bochvar и др.)

Идея: отказаться от бивалентности и ввести дополнительные значения (напр., третье — «неопределено», или continuum [0,1] в нечеткой логике).Примеры: Клениова 3‑значная логика: значения {T, F, U}, правила вычисления связок так, что неопределённость «распространяется».Лукашевич: трёх- и многозначные системы с другими таблицами истинности.Плюсы: естественно моделируют ситуации «ни истинно, ни ложно»; сохраняют контроль над выводами.Минусы: нужны новые семантические таблицы; некоторые классические тавтологии теряются или требуют переинтерпретации.

Супервалюэйшн (supervaluationism)

Идея: множество «точных» уточнений (precisifications); предложение считается «суперистинным», если истинно во всех уточнениях, «суперложным», если ложно во всех; иначе — неопределённо.Плюсы: позволяет сохранить классические логические законы на уровне «суперистины» и работать с «нечёткостями» аккуратно.Минусы: технически требует спецификации семейства уточнений; не всегда отвечает на метафизические вопросы о природе истины.

Параконсистентные логики и диалетеи (Priest, da Costa и др.)

Идея: разрешить истинные противоречия (диалетеи — предложения, одновременно истинные и ложные) и при этом блокировать правило «всё выплывает из противоречия» (explosion).Примеры: логика LP (Logic of Paradox, Priest) допускает модели, где A и ¬A оба истинны; системы Да Косты (Cn) контролируют уровень допускаемых противоречий.Плюсы: позволяют формализовать парадоксальные самоссылки без превращения теории в тривиальную; полезны в работе с несовместными источниками информации.Минусы: интуитивно тяжело принять «истинные противоречия»; надо менять правила вывода (утверждений) и семантику импликации.

Ревизионистские / динамические теории (Gupta–Belnap)

Идея: истина — динамический «процесс» ревизии; в ходе ревизий некоторые предложения могут менять статус. Нет однозначного классического статуса для парадоксальных утверждений.Плюсы: моделируют нашу практику формулирования теорий о правде; бывают выразительны.Минусы: сложнее формализовать и изучать метасвойства.

Нелинейные/субструктурные логики (relevance, linear и др.)

Под «нелинейными» иногда подразумевают логики, меняющие структурные правила вывода (отмена усиления, слабости и т.п.). Например релевантная логика отвергает произвольную импликацию из противоречия.Плюсы: дают более «контекстно-чувствительную» логику условных и связанных высказываний.Минусы: сложнее интуитивно и технически; не все парадоксы снимаются автоматически.

3) Как выбирать подход — краткие соображения

Если хочется сохранить максимально привычный аппарату классической логики → избегают самоссылки (Тарский) или используют супервалюэйшн/частичную семантику.Если важнее моделировать естественные языковые утверждения о правде → теории фиксированной точки/ревизии/многозначные дают естественные решения.Если философски приемлемо утверждать, что некоторые противоречия — реально истинны → париконсистентность/диалетизм — путь, который не приводит к тривиальности.Практическое применение (компьютерные системы, базы знаний) часто использует париконсистентные и многозначные подходы для устойчивой работы с противоречивой или неполной информацией.

Если хотите, могу:

привести формальные таблицы истинности для Kleene/Lukasiewicz/LP;показать, как работает Крипке‑фикс‑точка на простом примере;или сравнить конкретные логические законы (закон исключённого третьего, принцип невозведение из противоречия и т. п.) в разных системах.