Коротко парадокс. Пусть L — предложение «Это предложение ложно». Формально можно записать его как
$$L\equiv \neg \mathrm{True}(┌L┐),$$ где $┌L┐$ — код строки $L$. Если $L$ истинно, то по определению $\neg \mathrm{True}(┌L┐)$ истинно, т.е. $L$ ложно; если $L$ ложно, то $\mathrm{True}(┌L┐)$ истинно, т.е. $L$ истинно. Это классическое несводимое противоречие.
Решения и подходы.
1) Классическая формальная логика (без изменений)
- Результат: несостоятельность (противоречие). В классической логике из противоречия следует всё (из взрывающегося правила ex falso quodlibet), значит теория становится тривиальной.
- Вывод: либо запретить формулы, создающие самоссылку, либо изменить систему логики.
2) Параконсистентная логика (диалетизм)
- Идея: разрешить истинные противоречия (gluts) и отменить правило взрыва. Существуют формальные системы (напр. логика LP, различные релевантные логики), где $A$ и $\neg A$ могут быть одновременно «настоящими», но не влекут произвольный вывод $B$.
- Последствия: парадокс устраняется тем, что $L$ может быть одновременно «истинным и ложным» без развала теории.
- Минусы: радикальная консультация интуитивных понятий истинности и ведёт к трудностям при интерпретации и применении в математике.
3) Многозначная логика / пропуск истинности (gaps) — Клини, супервационализм
- Клини: трёхзначная логика с значениями $\{\text{истина},\text{ложь},\text{неопределено}\}$. Оператор истины строится так, что для лиарского предложения значение «неопределено».
- Крипке (семантика фиксированных точек): оператор $\Gamma$ на множествах предложений даёт, какие предложения можно признать истинными при заданных предположениях; берут наименьшую фиксированную точку $\mathrm{Fix}(\Gamma )$. Лиарское предложение оказывается вне множества истинных (или имеет неопределённость).
- Супервационализм: рассматривают все «полноподстановочные» оценивания и считают предложение истинным, если оно истинно во всех «разрешениях» неопределённостей.
- Плюсы: сохраняют большую часть классической логики там, где она применима; естественно трактуют отсутствие значения как отсутствие истинности.
- Минусы: надо вводить концепт «неопределено» для истинности, иногда трудности формализации в арифметике.
4) Теория метаязыков — Тарский
- Тезис Тарского: истинность языка нельзя внутренне определить без противоречий; вводят внешние метаязыки и иерархию уровней: язык${}_0$ (объектный), язык${}_1$ (мета), язык${}_2$ и т.д. Для каждого уровня вводят предикат ${\mathrm{True}}_n$ такой, что всё ещё выполняется схема
$${\mathrm{True}}_n(┌\phi ┐)\leftrightarrow \phi$$ для предложений $\phi$ объекта уровня $n$, но нельзя сформулировать ${\mathrm{True}}_n$ внутри того же уровня.
- Плюсы: чистая, математически строгая конструкция; объясняет причину парадокса (самоссылка) и встраивает истину в иерархию.
- Минусы: противоречит интуиции единой «универсальной» понятия истины в естественном языке; иерархия выглядит формально искусственной для повседневной семантики.
5) Теория типов (Расселевская / простая и рамифицированная теория типов)
- Идея: присвоить выражениям уровни/типы, так что предикат не может применяться к выражению своего же типа, тем самым запрещая самоссылку. Аналогично Тарскому, но встроено в синтаксическую систему (типы объектов, типов над ними и т.д.).
- Плюсы: строгая синтаксическая профилактика самоссылок; хорошо работает в формальных теориях (например, типизированные λ-исчисления).
- Минусы: как и иерархия языков, выглядит искусственно применительно к естественному языку; сложна и может мешать практическому использовании выражений, требующих рекуррентной рефлексии.
Философская оценка — что более устойчиво?
- Тарский/иерархия и теория типов: наиболее математически прозрачны и безопасны для формальных теорий (арифметики, математики). Они дают ясное объяснение: парадокс возникает из самоссылки; решаемо запрещением такой самоссылки в синтаксисе. Философски устойчивы, когда целью является строгая формализация и избежание противоречий. Их главный недостаток — они разрушают идею единой, всеобъемлющей предиката «истина» для естественного языка.
- Крипке/многозначность (фиксированные точки, трёхзначные решения, супервационализм): компромиссный и часто наиболее интуитивно привлекательный подход для тех, кто хочет сохранить самореференцию и большую часть классической логики. Он объясняет парадокс как возникновение «неопределённости» у проблемных предложений и позволяет моделировать многие случаи естественного языка. Философски устойчив, если принять идею неполноты (некоторые высказывания не имеют значения) вместо допущения противоречий.
- Параконсистентность (диалетизм): радикально допускает истинные противоречия. Философски привлекательна для тех, кто считает, что логика должна отражать возможную «двусмысленность» реальности и языка. Но для многих она неудовлетворительна — ломает привычные интуиции о вывода¬х и требует перестройки значительной части матлогики.
Моё краткое заключение и предпочтение: для формальной науки наиболее практичны и устойчивы подходы Тарского (или теория типов) и Крипке (фиксированные точки) — первый даёт строгое разграничение уровней, второй — гибкую средний путь с неполными значениями, который сохраняет самореференцию без превращения теории в тривиальную. Параконсистентный путь интересен и концептуально смел, но философски требует более сильных аргументов в пользу принятия истинных противоречий, чего обычно недостаточно в математических приложениях.
Если нужно, могу кратко показать формализацию Тарского (схема T) и/или модель Крипке (оператор фиксированной точки) в виде формул.