Коротко о парадоксе и формализация
- Парадокс лжеца: «Это предложение ложно.» Формализуя через предикат истины $T$, получаем предложение $L$ такое, что
$$L\equiv \neg T(┌L┐).$$ Тогда по T‑схеме получаем противоречие: если $T(┌L┐)$, то по схеме $T(┌L┐)\leftrightarrow L$ следует $L$, т.е. $\neg T(┌L┐)$; если же $\neg T(┌L┐)$, то $L$ истинно и снова $T(┌L┐)$. Таким образом одновременное сохранение (i) универсальной T‑схемы $\forall \varphi [T(┌\varphi ┐)\leftrightarrow \varphi ]$, (ii) классической логики (включая бивалентность) и (iii) возможности выразить $T$ внутри языка ведёт к противоречию.
Стратегии разрешения (механизм, формализация, последствия)
1) Метаязыковые иерархии (Тарский)
- Идея: запретить говорить о «истинности» в том же языке — ввести уровни $L_0,L_1,\dots$ и предикаты истины $T_0,T_1,\dots$ так, что $T_n$ относится только к предложениям $L_n$ и формула T‑схемы для уровня $n$ имеет вид
$$\forall \varphi \in L_n[T_n(┌\varphi ┐)\leftrightarrow \varphi ].$$ - Что сохраняется: классическая логика, бивалентность, полнота композиционной семантики для каждого уровня.
- Что теряется/цена: нет единого (глобального) предиката истины для всего языка — нельзя формально выразить «истинно во всех уровнях» внутри базового языка; самореференция запрещена.
- Философские последствия: возвращение к классическому представлению истины как свойства утверждений на фиксированном уровне; подходит формальной науке, но неудобна для философских теорий наивной истины (например, для дискурса о собственных высказываниях).
- Практические последствия: простая формализация семантики и доказательной теории; потеря рефлексивности в системах формальной рациональности (нельзя формализовать свои суждения о собственной истине).
2) Нелокальные/фикс‑точечные семантики (Крипке, ревизионные теории, супервалидация)
- Kripke: рассматривают оператор $\Gamma$ на множествах предложений (множество тех предложений, которые можно признать истинными при заданной оценке истиности). Начиная с $S_0=\varnothing$ строят
$$S_{\alpha +1}=\Gamma (S_{\alpha }),S_{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }{S}_{\beta }$$ и берут наименьшую фикс‑точку $S^{\ast }$ такую, что $S^{\ast }=\Gamma (S^{\ast })$. Некоторые самореферентные предложения получают значение «неопределено» (gap).
- Супервалидация: рассматривают все «полные» (total) расширения неопределённых оценок; предложение считается «суперистинным», если истинно во всех расширениях, «суперложным» — если ложно во всех; иначе — неопределено.
- Что сохраняется: можно иметь единый предикат истины, избежать противоречия без отказа от всех интуитивных Т‑схем (для обоснованных/grounded предложений классические Т‑схемы выполняются); сохраняется значительная часть классической логики для «заземлённых» предложений.
- Что теряется/цена: бивалентность нарушается — вводятся пропуски (gaps) или множественные оценки; сложность семантики (фазовая/итеративная конструкция), возможны неоднозначности (множественные фикс‑точки в ревизионных теориях).
- Философские последствия: дают «средний путь» — глобальный предикат истины, но не для всех предложений классическая двузначная семантика; подходят для теорий, которые готовы отказаться от универсальной бивалентности, но сохранить большую часть инференциальной практики.
- Практические последствия: в теории формальных систем предикат истины существует, но может быть не рекурсивно перечислим; полезно для анализа языка с самоссылаемостью и для вычислительных моделей, где неопределённость допустима.
3) Параконсистентная логика / диалетизм (Priest и др.)
- Идея: принять, что некоторые самореферентные предложения одновременно истинны и ложны (gluts); отказ от принципа взрывa (ex contradictione quodlibet). Можно сохранить наивную T‑схему
$$\forall \varphi [T(┌\varphi ┐)\leftrightarrow \varphi ]$$ даже для самореферентных $\varphi$, но логика предотвращает вывод любой формулы из противоречия.
- Формализация: переход к параконсистентным системам (напр., LP) с множеством значений $\{T,F,B\}$ (где $B$ — оба), и таблицами истинности, допускающими $A$ и $\neg A$ одновременно, но не ведующими к тривиальности.
- Что сохраняется: возможность единой, наивной теории истины; многие интуитивно важные Т‑схемы сохраняются.
- Что теряется/цена: отвергается классический принцип несопр��тиворечия как абсолютный критерий рациональности; меняется интуитивное понимание логического следования (нельзя произвольно применять классические правила вывода).
- Философские последствия: радикальный пересмотр понятия истинности и логической полноты; поддержка позиции, что истина может быть «неоднозначно» самопротиворечива; стимулирует переосмысление норм формальной рациональности.
- Практические последствия: пригодно для работы с противоречивыми базами данных, непоследовательными теориями права/политики; требует адаптации доказательных систем и автоматических теоретов — изменение стандартных инструментов (SAT/SMT) и методов верификации.
Сопоставление по ключевым принципам (кратко)
- Сохранение классической логики: тарсианские иерархии — да (локально); супервалидация/Крипке — частично (для grounded); параконсистентные — нет (меняются правила вывода).
- Наличие единого глобального предиката истины: тарсианские — нет; Крипке/ревизии/супервалидация — да (но с неопределённостями); параконсистентные — да (включая «gluts»).
- Сохранение T‑схемы для всех предложений: тарсианские — только между уровнями; Крипке — для фикс‑точечных истинных предложений; параконсистентные — можно сохранить для всех.
- Бивалентность: тарсианские — да (локально); Крипке/супервалидация — нет (gaps/варианты); параконсистентные — нет (gluts).
Выбор стратегии: философская и практическая интерпретация
- Если приоритет — сохранить классическую логику и бивалентность, то выбор — иерархии (цена — потеря рефлексивной, глобальной истины).
- Если приоритет — иметь единый рефлексивный предикат истины, но отказаться от бивалентности — подходят Крипке/супервалидация/ревизии (цена — неопределённости, сложность конструкции).
- Если приоритет — сохранить наивную T‑схему и позволить самопротиворечивые истины — параконсистентная логика (цена — признание истинных противоречий и пересмотр классических нормативов вывода).
Краткий вывод
- Парадокс лжеца вынуждает выбирать, какие интуитивные принципы жертвовать: рефлексивность предиката истины, бивалентность, непротиворечивость или классические правила вывода. Каждая стратегия разрешения сопровождается ясными формальными методами и ведёт к различным философским картинам истины и разным практическим последствиям в построении формально‑рациональных систем.