Ниже — сжато о ключевых формальных парадоксах, в чём именно они ставят под сомнение классическую логику, и какие основные альтернативы предлагаются для их разрешения.
Парадоксы и краткая формулировка проблемы
- Лжец (семанические парадоксы): предложение $L$ эквивалентно $\neg \mathrm{True}(┌L┐)$. Проблема: если истина бинарна и выполняется классическая логика с материалным условием и законом невозрастания, получается противоречие или неопределённость.
Предложения решения: парсевационные логики (dialetheism + пароконсистентная логика LP — допускает истинные противоречия), трёхзначные логики (Клини, Ł3), супервалюационизм (truth gaps), теория фикс‑точек Крипке (частичные/рефлексивные оценки), иерархии языков (Тарский).
- Парадокс Керри: самоотносящаяся формула $C$ такого, что $C\equiv (C\to \phi )$. С материалным условием и аксиомой выделения/взрыва ($A,A\to B⊢B$) даёт произвольную формулу $\phi$.
Решения: отказ от классической импликации — логики релевантности/силы (relevance logic), пароконсистентные системы (чтобы не следовала эксплозия), ограничение правил вывода (отказ от контрактирования/удаления).
- Парадокс Рассела (компрехенсионные парадоксы в теории множеств): наивная аксиома выделения множеств $\exists y\forall x(x\in y⟺P(x))$ даёт множество $R=\{x\mid x\notin x\}$ и противоречие $R\in R⟺R\notin R$.
Решения: формальные теории множеств, исключающие наивную компрехенсию — ZF/ZFC (основной путь: аксиома отделения вместо полного компрехенса и иерархия рангов), типовая теория (Russell), теория классов NBG, Morse–Kelley, Quine NF (ограниченная компрехенсия через стратификацию), позитивные и антифундаментальные теории (Aczel — не-хорошо‑основанные множества) — каждая даёт способ избежать прямой самореференции или ограничить формируемые свойства.
- Парадокс Бурали‑Форти (ординалы): построение "множества всех ординалов" даёт противоречие — показывает, что такие объекты лучше трактовать как классы.
Решения: запрещение подобных множеств (ZF: классы вне теории множеств) или типовая/иерархическая постановка (NBG, MK).
- Парадокс Грэллинг‑Нельсона, Ричарда, Берри (языковые/определимостьные парадоксы): самореференция через свойства слов/определимости ведёт к противоречиям или к неполноте описаний.
Решения: иерархии метаязыков (Тарский), формализация понятия определимости (ограничения на схемы), теории рекурсивной вычислимости и формальные ограничения на описательные выражения.
Чем эти решения отличаются логически (кратко)
- Ограничение синтаксиса/семантики: ZF, типовые теории, иерархии Тарского — устраняют самореференцию, сохраняя классическую логику внутри разрешённых выражений.
- Ослабление вывода/эксплозии: пароконсистентные логики (дающие $A$ и $\neg A$ без вывода любого $B$), релевантные логики (требуют смысловой связи в импликации), логики без контрактирования/ослабления.
- Изменение значения истинности: многозначные логики (Клини, Łukasiewicz), супервалюационизм, Крипке‑фикс‑точки — вводят "промежуточные" значения или частичную истинность для устранения противоречия.
- Формализованная самореференция/иерархии истин: теории типа Kripke–Feferman, ревизионные теории правдоподобия — пытаются формализовать предикат истины без классического противоречия.
Короткая навигация по тому, что выбрать
- Если проблема — теория множеств (Рассел, Бурали‑Форти) — стандарт: ZF/ZFC или типы; альтернативы: NBG, MK, NF, Aczel.
- Если проблема — семанические парадоксы (Лжец и родственники) — варианты: Тарская иерархия или Крипке/супервалюация/трёхзначные; радикальный: пароконсистентизм/диалетизм.
- Если проблема — логика вывода (Керри) — смотреть в сторону релевантных/пароконсистентных логик или модификации правил вывода.
Заключение (одно предложение): разные парадоксы требуют разных техник — либо ограничить язык/компрехенсию, либо изменить семантику истинности, либо ослабить правила вывода; все эти направления породили развитые альтернативные логико‑теоретические системы.