Кратко о логической структуре парадокса и формализация.
- Парадокс: «Это утверждение ложно». Формально (с предикатом истины $T$) по лемме диагонализации существует предложение $L$ такое, что
$$L⟷\neg T(┌L┐).$$ Если дополнительно допустить универсальную тавтологию (T-схему)
$$T(┌p┐)⟷p$$ для всех высказываний $p$, то для $p:=L$ получаем
$$T(┌L┐)⟷\neg T(┌L┐),$$ т.е. явное противоречие. Следовательно не все три утверждения одновременно могут быть приняты: (а) способность языка выразить такую самоссылку, (б) общность T‑схемы, (в) классическая логика (бивалентность + невозвратимость противоречия/explosion).
Основные философские способы разрешения и их последствия для теории истины.
1) Иерархия Тарского (метаязык — объектный язык)
- Идея: запрещаем предикат истины в том же языке; вводим уровни: истина для языка $L_n$ определяется только в метаязыке $L_{n+1}$.
- Последствия: сохраняется классическая логика и T‑схема на каждом фиксированном уровне; запрещена самоссылка, поэтому парадокс исчезает. Цена: утрата возможности одноязычно формулировать все высказывания о своём истинностном статусе — ограничение выразительной силы и практическая неудобство для естественных языков.
2) Частичная/трёхзначная семантика (Крипке, Клини)
- Идея: даём частичную интерпретацию $T$: для некоторых предложений значение «неопределено»; строим наименьшую неподвижную интерпретацию (least fixed point).
- Последствия: отвергается бивалентность для некоторых предложений; T‑схема выполняется только для определённых (grounded) предложений; сохраняется избегание противоречия без изменения классической логики для определённых подмножин высказываний. Теория истины становится частичной и конструктивно определяемой.
3) Супервалюационализм (пропуск истинностных значений)
- Идея: допускаем «пропуски» (gaps), но оцениваем логическую валидность «супервалюационно»: формула считается «суперистинной», если истинна при всех точных расширениях.
- Последствия: сохраняются классические логические законы (в смысле супервалидации), но бивалентность отдельных высказываний теряется; T‑схема корректна для тех предложений, значения которых устойчивы во всех расширениях. Теория остаётся близкой классике, но правда уже не всегда свойство субъекта.
4) Параконсистентная (диалетическая) стратегия (не отвергать противоречие)
- Идея: допустить, что некоторые предложения (включая $L$) одновременно истинны и ложны ($T(┌L┐)\wedge \neg T(┌L┐)$), но запретить правило взрыва (ex falso quodlibet).
- Последствия: можно оставить универсальную T‑схему; логика меняется (параконсистентная), чтобы не все противоречия делали теорию тривиальной. Теория истины становится более выразительной (можно иметь самоссылки), но цена — отказ от классического вывода и пересмотр стандартных метатеорем.
5) Теория ревизий (Gupta–Belnap)
- Идея: итеративно пересматривать утверждения о $T$; некоторые предложения не получают устойчивого значения, но процесс даёт предсказуемую структуру (циклы, пределы).
- Последствия: не существует единственной окончательной оценки для всех предложений; T‑схема применима в этапах и для устойчивых предложений; теория истины оказывается динамической, иногда требующей трансфинитных шагов.
6) Дефляционизм / дискваторационализм / контекстуализм
- Идея: «истина» — не полноценный предикат, а логическая мета‑штука (схема дизквотации «'p' истинно iff p» используется только как схемы, а не как общая формула), или справедливое применение истины зависит от контекста.
- Последствия: минимизация онтологического статуса истины; парадокс либо тривиален (ограничен применением схемы), либо разрешается запрещением применения T‑схемы к самоотносительным предложениям. Теории истины менее амбициозны — они не претендуют на описательную полноту.
Краткое резюме последствий для теории истины (что теряется/сохраняется)
- Ограничение T‑схемы или запрещение самоотносительности → сохраняем классическую логику, теряем способность формализовать «истина» внутри того же языка.
- Отказ от бивалентности → сохраняем невозвратимость противоречия и многие логические законы, но потеряём классическое распределение истинности; T‑схема становится частичной.
- Принятие противоречий + параконсистентная логика → можно иметь универсальную T‑схему и самоссылки, но приходится изменить правила вывода (отказ explosion).
- Динамические/ревизионные подходы → истина становится процессом/итерацией; некоторые предложения не получают финального значения.
Важное замечание: выбор разрешения определяет, какие метатеоремы остаются в силе (консервативность над базовой арифметикой, применимость леммы диагонализации, связь с теоремой Гёделя об определимости истины), и непосредственно влияет на онтологический и логический статус понятия «истина» в данной теории.