Олимпиадная задача по алгебре Будем говорить, что число n является k-разрешимым, если существуют такие натуральные числа a1, a2, ..ak (не обязательно различные) такие, что
1/a1+1/a2+⋯+1/ak=1
и
a1+a2+⋯+ak=n.
Докажите, что если n является k-разрешимым, то 42n+12 является (k+3)-разрешимым.
Олимпиадная задача по алгебре Будем говорить, что число n является k-разрешимым, если существуют такие натуральные числа a1, a2, ..ak (не обязательно различные) такие, что
1/a1+1/a2+⋯+1/ak=1
и
a1+a2+⋯+ak=n.
Докажите, что если n является k-разрешимым, то 42n+12 является (k+3)-разрешимым.
1/a1+1/a2+⋯+1/ak=1
и
a1+a2+⋯+ak=n.
Докажите, что если n является k-разрешимым, то 42n+12 является (k+3)-разрешимым.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что если n является k-разрешимым, то выполняется условие:
1/a1+1/a2+⋯+1/ak=1 .......(1)
и
a1+a2+⋯+ak=n ........(2)
Добавим к обеим сторонам равенства (2) по 42:
a1+a2+⋯+ak+42=42+n
Подставим это в равенство (1), умножив обе части на (n+42), получим:
(n+42)/a1 + (n+42)/a2 + ... + (n+42)/ak = n+42
Раскроем скобки:
(42n+42)/a1 + (42n+42)/a2 + ... + (42n+42)/ak = n+42
Разделим обе части на 42(n+12):
(n+12)/(a142) + (n+12)/(a242) + ... + (n+12)/(ak*42) = 1
Таким образом, получаем, что 42n+12 является (k+3)-разрешимым, что и требовалось доказать.