Момент инерции тонкого проволочного кольца относительно оси, совпадающей с его диаметром, можно найти с помощью формулы:

$$I=\frac{1}{2}m{R}^2.$$

Для решения этой задачи можно использовать метод элементов масс.

Разобьем кольцо на маленькие элементы массы dm.

Найдем момент инерции каждого элемента dm относительно оси, проходящей через его центр масс:

$$dI=\frac{1}{2}dm\cdot r^2,$$

где r - расстояние от оси до элемента dm.

Найдем расстояние r для каждого элемента dm. Так как ось проходит через центр масс кольца, то r будет равно половине диаметра, т.е. r = R.

Суммируем моменты инерции всех элементов кольца:

$$I=\int dI=\int \frac{1}{2}dm\cdot R^2.$$

Поскольку масса кольца равномерно распределена, dm = $\frac{m}{2\pi R}$d$s$, где ds - элемент длины кольца.

Заменяем dm в интеграле:

$$I=\frac{1}{2}m{R}^2\int \frac{1}{2\pi R}ds=\frac{1}{2}m{R}^2.$$

Таким образом, мы получаем формулу для момента инерции тонкого проволочного кольца относительно оси, совпадающей с его диаметром: $I=\frac{1}{2}m{R}^2.$