Для решения этой задачи мы можем использовать преобразования Лоренца и знания о сокращении длины в специальной теории относительности (СТО).

Собственная длина стержня (длина в системе K', где он покоится) равна ( L_0 = 1 \, м ). Он составляет угол ( \alpha_0 = 45^\circ ) с осью x'.

Скорость системы K' относительно системы K равна ( v = 0.8c ), где ( c ) — скорость света.

Шаг 1: Определение компонентов длины стержня в K'

Сначала мы определим компоненты длины стержня в системе K'. Стержень формирует угол ( \alpha_0 = 45^\circ ) с осью x'. Поэтому его компоненты длины ( L_0 ) будут:

Вдоль оси x':
[
L_{0x'} = L_0 \cdot \cos(\alpha_0) = 1 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \, м
]

Вдоль оси y':
[
L_{0y'} = L_0 \cdot \sin(\alpha_0) = 1 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \, м
]

Шаг 2: Применение преобразования Лоренца

Теперь мы используем преобразования Лоренца, чтобы найти длину стержня в системе K. Эффект сокращения длины проявляется только в направлении движения. Поскольку K' движется вдоль оси x, компонент длины вдоль оси x' сокращается.

Длина в системе K, ( L ), может быть найдена следующим образом:

Компонента длины вдоль оси x (учитывая сокращение):
[
Lx = L{0x'} \cdot \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 - (0.8)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1 - 0.64} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{0.36} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0.6 = \frac{0.6}{\sqrt{2}} \, м
]

Компонента длины вдоль оси y (не подвергается сокращению):
[
Ly = L{0y'} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, м
]

Шаг 3: Нахождение полной длины стержня в системе K

Теперь, зная компоненты длины стержня в системе K, мы можем найти его полную длину ( L ) с использованием теоремы Пифагора:

[
L = \sqrt{L_x^2 + L_y^2}
]
Подставим значения:

[
L = \sqrt{\left(\frac{0.6}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{0.36}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{0.36 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{1.36}{2}} = \sqrt{0.68} \approx 0.823 \, м
]

Ответ

Длина стержня в системе K составляет приблизительно ( 0.823 \, м ).