Давайте найдем уравнение траектории $y(x)$ для точки, движущейся по заданным законам:

$$x=a\sin (\omega t),$$

$$y=a\cos (2\omega t).$$

В первую очередь выразим $t$ через $x$.

Из первого уравнения мы можем выразить $\sin (\omega t)$:

$$\sin (\omega t)=\frac{x}{a}.$$

Теперь найдем $\omega t$:

$$\omega t=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right).$$

Чтобы выразить $t$:

$$t=\frac{1}{\omega }\arcsin \left(\frac{x}{a}\right).$$

Теперь подставим это выражение в уравнение для $y$, чтобы выразить $y$ через $x$.

Сначала найдём $\cos (2\omega t)$. Заметим, что $2\omega t=2\cdot \frac{1}{\omega }\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$:

$$y=a\cos (2\omega t)=a\cos \left(2\cdot \frac{1}{\omega }\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)\right).$$

Теперь нам понадобится использовать формулу преобразования через тригонометрические функции. В частности, можно воспользоваться формулой двойного угла:

$$\cos (2\varphi )=1-2{\sin }^2(\varphi ).$$

Здесь мы можем взять $\varphi =\omega t$. В нашем случае:

$$\cos (2\omega t)=1-2{\sin }^2(\omega t).$$

Также, подставляя $\sin (\omega t)=\frac{x}{a}$:

$${\sin }^2(\omega t)={\left(\frac{x}{a}\right)}^2.$$

Таким образом:

$$\cos (2\omega t)=1-2{\left(\frac{x}{a}\right)}^2.$$

Теперь подставим это значение в уравнение для $y$:

$$y=a\left(1-2{\left(\frac{x}{a}\right)}^2\right),$$

упростим:

$$y=a-\frac{2x^2}{a}.$$

Таким образом, уравнение траектории $y(x)$ для заданного движения имеет вид:

$$y=a-\frac{2x^2}{a}.$$

Это уравнение описывает параболу, открывающуюся вниз.