Для нахождения пройденного пути ( s ) частицем, нам нужно найти её перемещение за указанный интервал времени. Давай начнём с выражения для скорости ( v(t) ):

[
v(t) = -\frac{5}{t} \mathbf{e}_x + \frac{1}{t} \mathbf{e}_y + \frac{2}{t} \mathbf{e}_z
]

Чтобы найти перемещение ( \Delta \mathbf{r} ), мы можем проинтегрировать скорость по времени:

[
\Delta \mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt
]

где ( t_1 = 3 ) и ( t_2 = 6 ).

Мы можем разбить интеграл на три компоненты:

[
\Delta \mathbf{r} = \int_{3}^{6} \left( -\frac{5}{t} \mathbf{e}_x + \frac{1}{t} \mathbf{e}_y + \frac{2}{t} \mathbf{e}z \right) dt = \left( -5 \int{3}^{6} \frac{1}{t} dt \right) \mathbf{e}x + \left( \int{3}^{6} \frac{1}{t} dt \right) \mathbf{e}y + \left( 2 \int{3}^{6} \frac{1}{t} dt \right) \mathbf{e}_z
]

Теперь посчитаем интеграл ( \int \frac{1}{t} dt ):

[
\int{3}^{6} \frac{1}{t} dt = \ln(t) \bigg|{3}^{6} = \ln(6) - \ln(3) = \ln\left(\frac{6}{3}\right) = \ln(2)
]

Теперь подставим результаты:

[
\Delta \mathbf{r} = \left( -5 \ln(2) \right) \mathbf{e}_x + \left( \ln(2) \right) \mathbf{e}_y + \left( 2 \ln(2) \right) \mathbf{e}_z
]

Теперь можем найти длину пройденного пути ( s ):

[
s = \left|\Delta \mathbf{r}\right| = \sqrt{\left(-5 \ln(2)\right)^2 + \left(\ln(2)\right)^2 + \left(2 \ln(2)\right)^2}
]

Посчитаем каждую составляющую:

((-5 \ln(2))^2 = 25 (\ln(2))^2)((\ln(2))^2 = (\ln(2))^2)((2 \ln(2))^2 = 4 (\ln(2))^2)

Сложим:

[
s = \sqrt{25 (\ln(2))^2 + (\ln(2))^2 + 4 (\ln(2))^2} = \sqrt{30 (\ln(2))^2} = \sqrt{30} \cdot |\ln(2)|
]

Теперь, чтобы получить численное значение, мы можем использовать приближенное значение ( \ln(2) \approx 0.693 ):

[
s \approx \sqrt{30} \cdot 0.693 \approx 5 \text{ метров} \quad (\text{приблизительно})
]

Итак, окончательный ответ подтверждает требование задачи - пройденный путь за указанный интервал времени равен 5 метрам.