Кратко: при переменном внешнем магнитном поле в проводящем цилиндре поле и токи подчиняются уравнению магнитной диффузии. При малых частот поле проникает во всё сечение, при высоких — возникает скин‑эффект: переменное поле и индукционные $вихревые$ токи сосредоточиваются в тонком поверхностном слое. Для ферромагнетиков дополнительно важна нелинейная магнитная проницаемость $насыщение$ и гистерезисные потери, которые меняют глубину проникновения и форму ответа.

Ниже — более подробно с формулами и пояснениями.

1) Общая физика и уравнение диффузии

Для гармонического внешнего поля ∼ e^{iωt} в однородном проводнике уравнение для магнитной индукции B $илидляH$ превращается в диффузионное уравнение:
∂B/∂t = $1/\mu \sigma$ ∇^2 B $приигнорированиисмещённыхтоков$.Характерное время магнитной диффузии через радиус a: τ_d = μσ a^2.
Параметр ωτ_d определяет режим: ωτ_d << 1 — низкочастотный $полноепроникновение$, ωτ_d >> 1 — скин‑режим.

2) Классический параметр — глубина скин‑слоя

Длина скин‑слоя
δ = sqrt$2/(\omega \mu \sigma )$.
Частотная зависимость: δ ∝ 1/√f; также δ уменьшается при большой проводимости σ и большой магнитной проницаемости μ.Волновой параметр в решениях: k = sqrt$i\omega \mu \sigma$ = $1+i$/δ.

3) Решение для длинного цилиндра $ось=z$, при осевом гармоническом внешнем поле B_ext$t$=B0 e^{iωt}

Простая аналитическая форма $дляоднородноголинейногоматериала$ для B_z$r$:
B_z$r$ = B0 · J0$kr$ / J0$ka$,
где J0 — нулевая функция Бесселя, a — радиус цилиндра.Кружащиеся $азимутальные$ индукционные токи:
J_φ$r$ = −$1/\mu$ dB_z/dr.Пределы:
Низкая частота (k a << 1 → δ >> a): J0$kr$ ≈ 1 − $kr$^2/4, поле почти равномерно внутри: B_z$r$ ≈ B0, слабые вихревые токи ∝ ωσ r.Высокая частота (k a >> 1 → δ << a): B_z убывает экспоненциально от поверхности к центру, приблизительно B ∝ exp$$-(1+i)(a-r)/\delta$$ $естьфазовыйсдвиг$. Токи сконцентрированы в слое толщиной ~δ.

4) Роль вихревых токов $eddycurrents$

Вихревые токи индуцируются законом Фарадея и направлены так, чтобы уменьшить изменение магнитного потока $законЛенца$. Они:
экранируют/ослабляют переменное поле в объёме $засчётмагнитнойдиффузии$;рассеивают энергию в виде джоулевых потерь P∝∫σ|E|^2 dV $нагрев$;создают эффективное увеличение сопротивления при переменном токе $AC‑сопротивление\propto 1/\delta \propto \surd fдлясильногоскин‑эффекта$.Интенсивность вихревых токов растёт с σ и ω; при очень малой σ их вклад пренебрежим.

5) Влияние электропроводности σ

Большая σ → маленькое δ → сильная экранировка, большие вихревые токи и потери, токи приближаются к поверхности.Малая σ → большое δ → поле проникает глубоко, слабые вихревые токи, поведение близко к «безтоковому» $B\approx B_{e}xt$.

6) Влияние магнитной проницаемости μ и насыщения $важнодляферромагнетиков$

Большая μ $\mu =\mu 0{\mu }_r$ уменьшает δ $\delta \propto 1/\surd \mu$, поэтому феромагнитный материал сильнее экранирует переменное поле при малых амплитудах.Нелинейность $насыщение$: при росте внешнего поля магнитная намагниченность достигает насыщения, μ_eff падает к μ0. Последствия:
при сильных DC/AC полях μ_eff снижается — скин‑глубина увеличивается, экранирование ослабевает;динамическая $частотная$ зависимость μ$\omega ,B$ может быть значительной: релаксационные и вихревые эффекты приводят к комплексной μ = μ' − i μ'', где μ'' — магнитные потери;гистерезис даёт дополнительные потери и искажение формы сигнала $гармоники$.На практике в ферромагнитных оболочках при низких частотах внешнее поле может практически не проникать $благодарябольшому\mu ивихревымтокам$, но при росте амплитуды поля материал насыщается и защита резко уменьшается.

7) Частотные области и практические эффекты

Очень низкие частоты (ωτ_d <<1): поле почти однородно внутри; индуктивные/вихревые токи малы; магнитное насыщение определяется статическим B–H.Промежуточные частоты $\omega {\tau }_{d}1$: заметная диффузия, частичная экранировка; характерные фазовые сдвиги между внешним и внутренним полем.Высокие частоты (ωτ_d >>1): сильный скин‑эффект, поле локализуется у поверхности; эффективное AC‑сопротивление и нагрев велико; при ферромагнетиках при высоких ω магнитная реакция может стать инерционной ${\mu }^{\prime }уменьшается,{\mu }^{\prime \prime }увеличивается$.Если частота столь велика, что ωε сопоставимо с σ $вдиэлектрическихилитонкихслоях$, становятся важны смещённые токи и электромагнитная волна $нетолькодиффузия$.

8) Примеры/приближения для инженерии

Для тонкой стенки (толщина t << δ) ток плотнее равномерно по толщине; для t >> δ ток в пределах δ.AC‑сопротивление провода ∝ √$f$ в лимите сильного скина; индуктивная реактивность и фазовый сдвиг обусловлены распределением поля.Тепловые потери P ∼ ∫ $|J{|}^2/\sigma$ dV растут с ω, σ и уменьшаются с увеличением δ $нопрималом\delta токплотнее\to большиелокальныепотери$.

9) Дополнительные нюансы

Геометрия поля: ориентировка внешнего поля $осевойvsпоперечный$ меняет форму решений, но физика скин‑эффекта и вихревых токов сохраняется.Граничные условия и многослойные оболочки $например,ферромагнитнаяоболочка+проводящаяподкладка$ требуют решения с матчингом на интерфейсах; результат часто — комбинированное экранирование $магнитное+проводниковое$.В нелинейных ферромагнитных материалах решение требует численных методов $FEM$ с учётом μ$B$, гистерезиса и тепловой обратной связи.

Краткий вывод:

При низкой частоте/низкой σ поле проникает в объём, вихревые токи малы.При высокой частоте/высокой σ поле гасится в поверхностном слое толщиной δ — скин‑эффект — и плотность тока концентрируется у поверхности, что даёт сильные джоулевы потери и фазовый сдвиг.В ферромагнетиках большая μ усиливает экранирование, но магнитное насыщение и динамическая потеря μ делают поведение нелинейным и зависящим от амплитуды и частоты.

Если хотите, могу:

привести подробный вывод B_z$r$ и J_φ$r$ через функции Бесселя для случая гармонического осевого поля,показать графики зависимости δ$f,\sigma ,\mu$ и примеры численных значений,обсудить практические следствия для дизайна экранов, трансформаторов или измерений.