Коротко — потому что у малых тел теплоёмкость и число степеней свободы малы, и тогда относительные флуктуации энергии $аследовательнои«температуры»$ становятся большими. Ниже — разъяснение механики явления, как это проявляется в микротепловых машинах и сенсорах, и какие статистические подходы применимы.

Почему флуктуации существенны

Масштаб энергии. В каноническом ансамбле дисперсия энергии равна
var$E$ = kB T^2 C,
где C = d⟨E⟩/dT — теплоёмкость. Для малых систем C может быть порядка нескольких kB или даже меньше, тогда абсолютные и относительные флуктуации энергии большие.Оценка относительных флуктуаций температуры $прилинейнойсвязи\Delta E\approx C\Delta T$:
var$T$ = kB T^2 / C, => $\sigma T/T$ ≈ sqrt$kB/C$.
Для макроскопической системы C ∝ NkB и $\sigma T/T$ ∼ 1/√N ≪ 1; для наносистем N мал, поэтому $\sigma T/T$ может быть заметным $десятые,процентыилибольше$.Временные масштабы. Если время измерения сравнимо с временем теплообмена с резервуаром, то флуктуации хорошо измеримы. Быстрая смена состояний, ступенчатые передачи энергии $квантованиетепла,переносотдельныхэлектронов/фотонов$ усиливают дискретность и шум.Квантовые эффекты и нечёткая дефиниция температуры. При сильно неклассическом или сильно неравновесном состоянии понятие «температура» не всегда корректно; «эффективные температуры» могут зависеть от наблюдаемой величины.

Как это проявляется в малых тепловых машинах и сенсорах

Малые тепловые машины $коллоидные/оптические,квантовыеточки,одноэлектронныедвигатели$:
Работа и тепло становятся стохастическими величинами: каждое выполнение цикла даёт случайные W и Q, распределения имеют конечную ширину и часто тяжёлые хвосты.Возможны микровременные «нарушения» второго закона $отрицательнаягенерацияэнтропии$ — это предсказано флуктуационными теоремами и наблюдается в экспериментах.Эффективность и мощность — случайные величины; распределение эффективности может быть широким, и средняя эффективность не тождественна наиболее вероятной.Флуктуации ограничивают надежность и воспроизводимость устройства: для получения стабильной мощности/эффективности требуется либо увеличение размеров, либо усреднение по времени/аналогам.Сенсоры и микрокалориметры:
Термодинамическая флуктуация тепла $thermalfluctuationnoise$ задаёт фундаментальный предел разрешающей способности микрокалориметров и болометров. Минимальная измеримая энергия определяется var$E$ и скоростью релаксации.В микрополупроводниковых/наноструктурных термометрах шум источников $Johnson–Nyquist,телеграфныйшум,фликер$ и дискретные передачи энергии $электроны,фононы,фотонныесобытия$ дают вклад, часто превышающий макроскопические источники.В электронике шум измерительной схемы и обратное влияние $back-action$ измерителя могут нагревать или флуктуировать систему.Практические следствия:
Необходимость статистической обработки результатов, учет дисперсий мощности/эффективности.Ограничение скорости измерений из-за компромисса между временем усреднения и чувствительностью.Для квантовых наноустройств — роль диссипации, электрон–фононного обмена, и шумов счётчиков $shotnoise$.

Статистические и теоретические подходы для описания

Равновесная термодинамика и ансамбли:
Микроканонический, канонический ансамбли для оценки var$E$, связей теплоёмкости и флуктуаций.Осторожность: «флуктуация температуры» в чисто каноническом смысле — не первичный объект, её вводят через модель термометра или через линеаризацию ΔE→ΔT $см.формулувыше$.Линейная реакция и флуктуационно-диссипативная теорема $FDT$:
Связывает спектры флуктуаций с откликом $проводимость,теплопроводностьит.д.$. Используется для шума теплового тока и оценки PSD температуры/энергии.Стахастическая термодинамика $stochasticthermodynamics$:
Описывает траектории системы в фазовом/состоянийному пространстве с определением стохастического тепла, работы и энтропии. Подход удобен для коллоидных двигателей, малых тепловых машин и экспериментальных тестов флуктуационных теорем.Математически: Langevin-уровень $шумовыедифференциальныеуравнения$, Fokker–Planck уравнения для распределения, методы для подсчёта распределений работы/тепла.Мастер-уравнения и дискретные процессы:
Для систем с малым числом состояний $квантовыеточки,одноэлектронныецепочки$ — марковские мастер-уравнения $счётпереходов$, включая полный учёт счётчика перенесённых частиц/энергии $fullcountingstatistics,FCS$.Извлекают полные распределения накопленного тепла/работы, кумулянты, большой отклонения $largedeviations$.Флуктуационные теоремы и неравенства:
Jarzynski equality, Crooks relation — строгие результаты для распределений работы/энергии в неравновесных процессах.Thermodynamic uncertainty relations — связывают точность $дисперсию$ флуктуирующих потоков с диссипацией, дают универсальные пределы для соотношения шума и расхода энтропии.Квантовые подходы:
Квантовая статистика, квантовые мастер-уравнения $Lindblad,Redfield$, неравновесные функции Грина и квантовая FCS — для низкотемпературных и сильно когерентных систем.В квантовой области добавляются эффекты квантовой флуктуации и обратного действия измерения.Методы анализа распределений:
Генерирующие функции, метод моментов, large-deviation теория для редких событий $важнодляоценкивероятности«успешных»цикловтепловогодвигателя$.Имитация траекторий $MonteCarlo,Gillespieдлядискретныхпроцессов,численноеинтегрированиестохастическихуравнений$.

Практические рекомендации для моделирования и измерений

Оцените теплоёмкость C и время релаксации τ; используйте формулу var$T$ = kB T^2 / C для грубой оценки флуктуаций.Выберите подходящую модель шума: Langevin для непрерывных степеней свободы, мастер-уравнение / Gillespie для дискретных переходов, квантовые методы при необходимости.Учитывайте обратное влияние измерителя $back-action$ и конечную скорость измерения.При анализе двигателей обязательно рассматривайте распределения W и Q, а не только средние; применяйте флуктуационные теоремы для контроля корректности.Для сенсоров вычисляйте PSD шумов, пределы NEP $noise-equivalentpower$ и энергоразрешение через var$E$ и временные параметры.

Короткое резюме

Флуктуации температуры важны в микро/наноразмерах потому, что теплоёмкость мала и относительные флуктуации энергии велики $\sigma T/T\sim \surd (kB/C)$.В малых тепловых машинах и сенсорах это проявляется в стохастике работы/тепла, широкой распределённости эффективности, фундаментальных шумовых ограничениях чувствительности.Для описания используются: равновесные ансамбли, FDT, стохастическая термодинамика $Langevin/Fokker–Planck$, мастер-уравнения и full-counting statistics, квантовые мастер-уравнения и large-deviation методы.

Если хотите, могу:

привести пример расчёта флуктуаций температуры для конкретной наноструктуры $укажитеC,T$,показать модель простого коллоидного теплового двигателя и как вычислить распределение работы,или описать, как оценить пределы чувствительности для конкретного микро-калориметра.