Коротко — почему дробный квантовый эффект Холла $FQHE$ возникает и что такое «дробные» квазичастицы.

1) Условия и проблема

Рассмотрим двумерный электронный газ в сильном перпендикулярном магнитном поле B. Одномерная энергия кинетики разрывается на дискретные уровни Ландау $LL$ с большой вырожденностью.Заполнение уровней задаётся параметром заполнения ν = n_e h/$eB$ $плотностьэлектроновn_e$. При ν целых получается целый квантовый эффект Холла $IQHE$ — одноэлектронный эффект.При дробных ν кинетическая энергия в рамках одной LL фактически «заморожена» $всесостояниявLLимеютодинаковуюэнергию$, и определяющую роль начинают играть кулоновские взаимодействия между электронами. Именно сильные электрон–электронные корреляции приводят к новым коллективным состояниям.

2) Механизм образования коррелированного состояния $Laughlin$

При ν = 1/m $mнечётноедляфермионов$ система формирует сильно коррелированную «несжимаемую» жидкость, минимизирующую энергию взаимодействий. Для описания такого состояния предложена функция волновой функции Laughlin:
Ψm$z1,...,zN$ = ∏{i<j} $z_i-z_j$^m · exp$-{\sum }_i|z_i{|}^2/(4l_B^2)$,
где z = x+iy — комплексная координата электрона, l_B = √$ħ/(eB)$ — магнитный радиус.Множитель $z_i-z_j$^m заставляет волновую функцию има́ть m-й порядок нуля при совпадении двух электронов — это эффективно «раздвигает» электроны и уменьшает кулоновскую энергию. Такое состояние обладает энергетическим разрывом до возбуждений — оно несжимаемо и даёт плато в σ_xy = ν e^2/h.

3) Квазичастицы с дробным зарядом — что это означает

Возбуждения над жидкостью Laughlin — квазидыры $quasiholes$ и квазичастицы $quasiparticles$. Формально квазидыра, локализованная в точке η, задаётся умножением волновой функции на ∏_i $z_i-\eta$; это создаёт локальную недостачу заряда.По аргументу Laughlin $ипотеориизаряда,включаяплазменнуюаналогиюивычислениязаряда,переносимогопривнедрениипотока$ такая локализованная возмущённая область несёт дробный заряд q = e/m. То есть при ν = 1/3 квазидыра несёт заряд e/3.Важно: это не означает, что электрон распался на три самостоятельные части. Это коллективная, топологическая эксцитация системы — коллективное распределение возбуждения с суммарным зарядом e/m.

4) Доказательства и интуиция $Laughlingaugeargument$

Если по центру системы медленно $адиабатически$ ввести одну квантовую единицу магнитного потока Φ0 = h/e, то через круговую границу будет «перекачано» количество заряда ΔQ = ν e. При ν = 1/m один flux quantum создаёт заряд e/m у центра — ещё один способ увидеть дробный заряд квазичастицы.Экспериментально дробный заряд наблюдали, например, в экспериментах на шуме тока через квантовый точечный контакт $shot-noise$ — шкалирование шума соответствует носителям заряда e/3 и т.д.

5) Сводка про статистику — anyons

При обмене двух таких квазичастиц фаза волновой функции меняется не на ±1 $какдлябозонов/фермионов$, а на exp$i\theta$ с θ = π/m $для\nu =1/m,абелевскиеanyons$. То есть у них дробная $междубозоннойифермионной$ статистика. Это можно вывести из поведения волновой функции и вычисления фазы при окружающем движении $Berry-фаза$.Для некоторых более сложных состояний $например\nu =5/2$ ожидаются неабелевы anyons, интересные для квантовых вычислений.

6) Общая теория и другие дробные заполнения

Для многих наблюдаемых дробных ν $нетолько1/m$ наиболее успешна картина композитных фермионов $Jain$: электрон «привязывает» чётное число магнитных флюсовых квантов и превращается в композитного фермиона, который испытывает меньший эффективный магнитный поле и проявляет IQHE. Оттуда получают последовательность ν = n/$2pn\pm 1$.Энергетический разрыв FQHE определяется масштабом кулоновской энергии ~ e^2/$\epsilon l_B$ и уменьшается при усилении разброса и при большом l_B.

7) Физическое значение и важность

FQHE — пример топологического порядка: состояние характеризуется не локальными порядковыми параметрами, а топологическими инвариантами $квантованным{\sigma }_{x}y,вырожденностьюнатореит.д.$.Дробные квазичастицы — проявление децентрализованной коллективной квантовой корреляции и дают новые виды статистики $anyons$, с потенциальными приложениями $неабелевыanyonsдлятопологическойквантовойобработкиинформации$.

Кратко: в сильном B кинетика «заморожена», сильные кулоновские взаимодействия формируют коррелированную несжимаемую жидкость $Laughlinиеёобобщения$. Возбуждения этой жидкости — коллективные объекты с дробным зарядом и дробной статистикой; они не дробят электрон в смысле его составных частей, а являются квазичастицами emergent, порождёнными топологическим порядком системы.