Кратко: при идеальном центральном (линии центров совпадают с нормалью контакта) упругом столкновении без трения крут. скорости не меняются — передача энергии между поступательным и вращательным движением отсутствует. При наличии тангенциального взаимодействия (трение или сцепление) возникает касательный импульс, который может приводить к изменению поступательной и угловой скоростей: возможны два режима — «прилипание» (stick) и скольжение (slip). Ниже — формулы и критерии.

1) Без трения

Нормальный импульс (совершенно упругое, коэффициент восстановления (e=1)):
[
Jn = 2 m\mathrm{red}\, v{rel,n},\qquad m\mathrm{red}=\frac{m_1 m_2}{m_1+m2},
]
где (v{rel,n}) — нормальная составляющая относительной скорости в момент контакта.Касательный импульс (Jt=0). Угловые скорости (\omega{1,2}) остаются неизменными. Никакой передачи энергии между поступательным и вращательным движением нет.

2) С трением (или шероховатостью): определяющие величины

Относительная касательная скорость в точке контакта до удара:
[
v{rel,t} = (v{1}-v_{2})\cdot\hat t + \omega_1 R_1 + \omega_2 R_2.
]Эффективная «тангенциальная масса» (учитывает инерции поступательного и вращательного движений):
[
m_t=\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{R_1^2}{I_1}+\frac{R_2^2}{I_2}\right)^{-1}.
]Импульс, необходимый чтобы полностью остановить касательную относительную скорость (прилипание):
[
J_t^{\mathrm{stick}} = -\,mt\, v{rel,t}.
]Критерий прилипания (Coulomb): прилипания удастся достичь, если
[
|J_t^{\mathrm{stick}}|\le \mu\, J_n,
]
где (\mu) — коэффициент трения, (J_n) — нормальный импульс (для упругого удара (Jn=2 m\mathrm{red} v_{rel,n})). Если не выполняется, имеет место скольжение и
[
J_t = -\mu Jn\,\mathrm{sign}(v{rel,t}).
]

3) Изменения скоростей при наличии касательного импульса (J_t)

Поступательные скорости:
[
\Delta v_{1t} = \frac{J_t}{m1},\qquad \Delta v{2t} = -\frac{J_t}{m_2}.
]Угловые скорости (знак зависит от направления касательного импульса):
[
\Delta\omega_1 = -\frac{J_t R_1}{I_1},\qquad \Delta\omega_2 = -\frac{J_t R_2}{I_2}.
]
(знак выбран так, что положительный (J_t) уменьшает касательную скорость в точке контакта).

4) Передача энергии

Работа касательного импульса преобразует часть поступательной кинетики в вращательную (и наоборот при обратном направлении). Изменение суммарной кинетической энергии при упругом идеальном ударе с трением теоретически сохраняется, если трение не диссипативно (в случае абсолютного «прилипания» при идеальном сцеплении также можно считать без потерь); при реальном скольжении с трением часть энергии рассеивается как тепло и уменьшается механическая энергия.Оценка доли энергии, уходящей в вращение, зависит от соотношения масс и моментов инерции через (m_t) и (I_i).

5) Когда возникает ощутимая ротация (практический критерий)

Высокий коэффициент трения (\mu) (чтобы позволить большой (J_t)).Малые моменты инерции (I_i) при фиксной массе и радиусе (т. е. тела «легко» раскручиваются) — для данного (J_t) изменение угловой скорости (\Delta\omega\propto J_t R/I) больше.Большая касательная относительная скорость (v_{rel,t}) до удара (чтобы (J_t^{\mathrm{stick}}) был значителен).Большая нормальная сила/импульс (J_n) (т. к. максимальный скользящий (J_t) ограничен (\mu Jn)): при больших (v{rel,n}) возможен больший касательный импульс при скольжении.Примеры оценки для одинаковых твердых шаров (массa (m), радиус (R), момент (I=\tfrac25 mR^2)): тогда
[
m_t=\frac{m}{7},\qquad Jn=m v{rel,n}\ (\text{при }e=1),
]
прилипание если
[
|v{rel,t}|\le 7\mu |v{rel,n}|.
]
Изменение угловой скорости при прилипания:
[
\Delta\omega \approx \frac{5}{14R}\,v{rel,t}\approx 0.357\frac{v{rel,t}}{R},
]
и наблюдаемая ротация становится заметной, если (\Delta\omega) сравнительно велико по отношению к существующей (\omega) или если вращательная кинетическая энергия (\sim\frac12 I(\Delta\omega)^2) не мала по сравнению с типичной поступательной энергией ( \sim\frac12 m v^2).

Итог: при идеально гладком центральном столкновении передача энергии в вращение отсутствует. При шероховатости/трении возможен касательный импульс, который при выполнении условия прилипания (или при достаточном (\mu J_n) при скольжении) приводит к заметной ротации; величина эффекта определяется отношением моментов инерции, радиусов, масс, величиной касательной скорости и величиной нормального импульса.