Кратко: простое уменьшение размеров модели ломает динамическое подобие, потому что относительные силы (инерция, вязкость, тяжесть, сжимаемость, поверхностное натяжение и т.д.) масштабируются по-разному. Чтобы результаты модели переносились на прототип, нужно обеспечить геометрическое, кинематическое и динамическое подобие — т.е. сохранить ключевые безразмерные числа. Ниже — какие числа важны, что они означают и к каким ошибкам приводят их нарушения, а также практические приёмы компенсации.
1) Основные требования подобия
- Геометрическое: одинаковая форма (линейное масштабирование).
- Кинематическое: одинаковые безразмерные поля скоростей.
- Динамическое: совпадение всех значимых безразмерных чисел.
2) Ключевые безразмерные числа (определение + физический смысл)
- Рейнольдс: $Re=\frac{UL}{\nu }$. Соотношение инерционных и вязких сил; определяет толщину пограничного слоя, переход ламинар–турбулентность, коэффициенты трения и сдвиговые слои.
- Фруда: $Fr=\frac{U}{\sqrt{gL}}$. Соотношение инерции и гравитации; важен для волн и свободной поверхности (корабли, плавучие структуры).
- Мах: $Ma=\frac{U}{c}$. Сжимаемость газа; определяет возможность образования ударных волн, изменение аэродинамических характеристик при больших скоростях.
- Вебер: $We=\frac{\rho U^{2}L}{\sigma }$. Отношение инерции к поверхностному натяжению; важно для капель/струй и поверхностей.
- Струхаль: $St=\frac{fL}{U}$. Частота вихреобразования, важна для динамического нагружения и вибраций (вихреобразование за телом).
- Прандтль: $Pr=\frac{\nu }{\alpha }$. Отношение вязкости к теплопроводности; важно для распределения температуры и тепловых пограничных слоёв.
- Грасгоф/Ричардсон (естественная конвекция): $Gr=\frac{g\beta \Delta T{L}^3}{{\nu }^2},Ri=\frac{g\beta \Delta TL}{U^2}$.
- Россби/Экман (геофизика): $Ro=\frac{U}{fL},Ek=\frac{\nu }{2\Omega L^2}$ с $f=2\Omega \sin \varphi$. Определяют влияние кориолисовой силы.
- Кнудсен: $Kn=\frac{\lambda }{L}$. Относительная длина свободного пробега; важен при редких газа (разрежение).
- (При необходимости) Эйлер: $Eu=\frac{p}{\rho U^2}$ — соотношение давления и кинетической энергии.
3) Последствия нарушения подобия (что сломается)
- Несоответствие $Re$: неверная толщина пограничного слоя, преждевременная/запоздалая отрывность потока, ошибочные коэффициенты лобового сопротивления и подъёмной силы, неверные тепловые потоки (через Pr).
- Несоответствие $Fr$: неправильный масштаб волн/гребня, ошибочный расчёт волнового сопротивления и взаимодействия со свободной поверхностью.
- Несоответствие $Ma$: отсутствие/появление ударных волн, неверные силовые характеристики и сдвиги по подъёму/сопротивлению.
- Несоответствие $We$: искажённые процессы распыления, образование брызг, капиллярные эффекты.
- Несоответствие $St$: неправильная частота вихреобразования — неверные вибрационные нагрузки и акустика.
- Несоответствие $Pr,Gr,Ri$: неправильная конвекция и теплообмен.
- Несоответствие $Ro,Ek$: неверное влияние кориолиса — недостоверные крупномасштабные циркуляции.
- Высокий $Kn$: классическая НС-теория неприменима → нужны модели редкого газа/кинетика.
4) Практические ограничения и приёмы
- Невозможно одновременно точно сохранить все числа при больших отличиях масштабов. Выбирают доминирующие механизмы (например, для корабля — $Fr$ для волн, затем корректируют трение).
- Коррекции и компенсации:
- Использовать различные жидкости/газы (изменить $\nu ,\rho ,c,\sigma$) или температуру/давление (прессуризация/криогенные туннели) для приближения $Re$ и $Ma$.
- Трипперы/шероховатость для моделирования перехода к турбулентности на модели, чтобы частично компенсировать низкий $Re$.
- Разделение эффектов: применять Фруда-симиляцию для волнового сопротивления и отдельно оценивать фрикционный (Re) с эмпирическими коррекциями (например, ITTC фрикционная линия для кораблей).
- Использовать модернизированные ВПР/воздушные/жидкостные туннели (pressurized or cryogenic) для высоких $Re$ без высоких $Ma$.
- Применять CFD с адекватными турбулентными моделями и LES/DNS там, где экспериментальное подобие невозможно; учитывать пограничные условия и масштабирование шероховатости.
- Комбинация модельных экспериментов и численного моделирования + октанация неопределённости.
5) Примеры численного масштаба (иллюстрация)
- Если масштаб по длине $L$ уменьшен в 100×, при той же скорости $U$ число Рейнольдса уменьшится в 100×: $R{e}_{\text{model}}=\frac{U(L/100)}{\nu }=\frac{1}{100}R{e}_{\text{prototype}}$. Чтобы восстановить $Re$, нужно увеличить $U$ в 100×, что нарушит $Fr$ и $Ma$.
- Для судов обычно сохраняют $Fr$ (волны), а фрикционную составляющую корректируют эмпирически.
Краткий вывод: простое уменьшение размеров не даёт переноса результатов, потому что разные силы масштабируются по-разному; надо выбирать и поддерживать релевантные безразмерные числа ($Re,Fr,Ma,We,St,Pr,Ro,Kn$ и др.) или применять сочетание экспериментальных приёмов и численного моделирования и эмпирических коррекций.