Почему Кеплеровы орбиты (эллипсы и т. д.) появляются в Ньютоновской механике
- Законы: в Ньютоне сила тяготения между двумя точечными массами
$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$ является центральной и обратно-пропорциональной квадрату расстояния. Центральная сила сохраняет момент импульса $L$, следовательно движение лежит в плоскости и выполняется закон площадей (Kepler I–II: равные площадям за равные времена).
- Уравнение орбиты. Ввести $u(\phi )=1/r$ и угловой момент на массу $h=L/\mu$ ($\mu$ — приведённая масса). Бине-уравнение для обратного квадрата даёт
$$\frac{d^{2}u}{d{\phi }^2}+u=\frac{GM}{h^2},$$ решение которого
$$u(\phi )=\frac{GM}{h^2}(1+e\cos \phi )$$ соответствует коническим сечением — при $0\le e<1$ это эллипс (Кеплер).
- Связи с параметрами орбиты: например третьему закону Кеплера соответствует
$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3,$$ и связям между $h,a,e$: $h^2=GMa(1-e^2)$.
Переход к общей теории относительности (ОТО) и изменения в предсказаниях
- Идея: в ОТО гравитация — не сила, а искривление пространства-времени; орбиты — геодезические в метрике, порождённой массой. В слабом поле и при низких скоростях ОТО даёт Ньютон как предел.
- Модификация уравнения орбиты (Шварцшильдовское поле): классическое Бине-уравнение получает малую релативистскую поправку
$$\frac{d^{2}u}{d{\phi }^2}+u=\frac{GM}{h^2}+3\frac{GM}{c^2}{u}^2.$$ Эта дополнительная нелинейная член приводит к тому, что орбита уже не является замкнутой коникой — перицентр медленно прецессирует.
- Перицентральная прецессия в первом приближении (малые отклонения) на один оборот:
$$\Delta \phi \approx \frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}.$$ Для Меркурия это даёт известное объяснение сдвига перигелия, равного примерно $43^{\prime \prime }$ в век.
- Сильные поля: при малых радиусах (близко к компактным объектам) эффекты становятся крупными:
- существует минимально стабильная круговая орбита (ISCO) для Шварцшильда: $r_{\mathrm{ISCO}}=6GM/c^2$; внутри неё неустойчивые или траекторно захватывающие орбиты.
- значительная прецессия, значимые отклонения от коник, возможны плавающие орбиты и захват на спирали.
- для вращающихся масс (метрика Керра) добавляются эффекты закручивания пространства (frame dragging, Лэнс–Тирринг), приводящие к дополнительным прецессиям узловой и перицен-тральной осей; масштаб порядка
$${\Omega }_{\mathrm{LT}}\sim \frac{2GJ}{c^2{r}^3},$$ где $J$ — угловой момент центрального тела.
- в конечно‑энергетическом аспекте — излучение гравитационных волн (для близких масс) отводит энергию и угловой момент, вызывая уменьшение полуоси и спиральное сближение. Ведущий вклад для круговой бина- рной даёт мощность
$$P=\frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{m_1^2{m}_2^2(m_1+m_2)}{a^5}.$$
Кратко: в слабых полях и при малых скоростях Ньютон даёт центральную обратноквадратную силу, откуда следуют конические орбиты Кеплера. ОТО в слабом пределе возвращает эти законы, но вводит поправки: предварение перицентра, отсутствие строго замкнутых конических траекторий в сильных полях, существование ISCO, эффекты закручивания пространства у вращающихся тел и потерю энергии через гравитационные волны.