Готовлю краткий, содержательный ответ.
1) Уравнение и собственная задача
- Линейный оператор для боковой прогибной формообразующей функции $w(x)$ (модель Эйлера–Бернулли, продольная сила $P$ постоянна):
$$(EI(x)w^{\prime \prime }(x){)}^{\prime \prime }+P{w}^{\prime \prime }(x)=0,x\in [0,L],$$ с соответствующими краевыми условиями (например защёлкнутые/шарнирные/защёлоченные). Это эквивалентно собственной задаче на критическую нагрузку $P$.
- В вариационной форме критическая нагрузка задаётся минимумом Рэлея:
$$P_{\mathrm{cr}}=\underset{w\not\equiv 0}{\min }\frac{{\int }_0^{L}EI(x)(w^{\prime \prime }(x){)}^{2}dx}{{\int }_0^L(w^{\prime }(x){)}^{2}dx},$$ при допустимых $w$ (с учётом краевых условий).
2) Энергетическое соотношение в собственном режиме
- В собственном режиме при $P=P_{\mathrm{cr}}$ выполняется баланс «сгибающая» энергия = «работа» продольной силы:
$${\int }_0^{L}EI(x)(w^{\prime \prime }{)}^{2}dx=P{\int }_0^L(w^{\prime }{)}^{2}dx.$$ Следовательно, отношение энергий фиксировано для каждой собственной формы и равно $1$ в приведённой нормировке (второй вариации).
3) Влияние переменного поперечного сечения $EI(x)$ на $P_{\mathrm{cr}}$ и моды
- Общая тенденция: участки с меньшим $EI$ снижают числитель Рэлея и, следовательно, уменьшают $P_{\mathrm{cr}}$; жёсткие участки повышают $P_{\mathrm{cr}}$.
- Для слабой вариации $EI(x)=E{I}_0(1+\epsilon f(x))$, первое приращение собственного значения даётся формулой первого порядка:
$$\delta P=P_0\epsilon \frac{{\int }_0^{L}f(x)(w_0^{\prime \prime }(x){)}^{2}dx}{{\int }_0^L(w_0^{\prime }(x){)}^{2}dx},$$ где $w_0$ и $P_0$ — форма и нагрузка при $EI\equiv E{I}_0$.
- Для сильной локальной ослабленности (узкое «горлышко») собственная форма склонна локализоваться в слабом участке; приближение критической нагрузки часто дают локальные формулы Эйлера с эффективной длиной:
$$P_{\mathrm{cr}}\approx \underset{x}{\min }\frac{{\pi }^{2}EI(x)}{{\ell }_{\mathrm{eff}}^2(x)},$$ где ${\ell }_{\mathrm{eff}}$ — эффективная длина участка, зависящая от сопряжения с остальной частью балки и краевых условий.
4) Асимптотика и оценочные методы
- WKB / многомасштабный подход для медленно меняющегося $EI(x)$: положим $v=w^{\prime \prime }$. Тогда при медленном изменении
$$v^{\prime \prime }+\frac{P}{EI(x)}v\approx 0,$$ и в ведущем приближении
$$v(x)\sim A(x)\sin ({\int }^x\sqrt{\frac{P}{EI(s)}}ds+\varphi ),$$ что показывает местное «волновое число» $k(x)=\sqrt{P/EI(x)}$. Интегрируя дважды, получают форму $w$ — она более гладкая, и кривизна концентрируется в слабых участках.
- Практические численные методы: конечно-элементная дискретизация полной четвертого порядка задачи, или Галеркин с базисом, учитывающим геометрию $EI(x)$. Для оценки — использование вариационного функционала (Рэлея).
5) Поведение собственных мод (качество и распределение энергий)
- Низшая форма (критическая) при наличии слабого участка смещается / локализуется туда; её изгибающая энергия сосредоточена в этом участке, в то время как вклад интеграла $\int (w^{\prime }{)}^2$ распределяется шире.
- Более высокие моды: имеют больше колебаний, восприимчивы к глобальному профилю $EI(x)$; локализация проявляется меньше, но в сильно неоднородных балках наблюдаются «локальные» высокочастотные моды в жёстких участках и «низкочастотные» локальные в слабых.
- Доля энергии: для собственного режима с нагрузкой $P$ справедливо соотношение энергий из пункта 2; относительное распределение по участкам $x$ определяется плотностями $EI(x)(w^{\prime \prime }{)}^2$ (изгибающая энергия) и $(w^{\prime }{)}^2$ (работа продольной силы).
6) Резюме и рекомендации
- Чтобы получить точные значения $P_{\mathrm{cr}}$ и формы: решить численно собственную задачу $(EI(x)w^{\prime \prime }{)}^{\prime \prime }+P{w}^{\prime \prime }=0$ с заданными краевыми условиями (FEM, метод конечных разностей).
- Для быстрых оценок: использовать Рэлеевский функционал, первый порядок возмущения при слабой неоднородности и локальную оценку Эйлера при сильной концентрации слабости.
- Энергетическая интерпретация упрощает понимание: уменьшение $EI$ там, где $w^{\prime \prime }$ велико, сильнее снижает $P_{\mathrm{cr}}$; поэтому собственная форма «ищет» слабые участки, где можно снизить энергозатраты на изгиб.
Если хотите, могу: (а) записать явную форма‑задачу для конкретных краевых условий (защёлкнутые/шарнирные), (б) показать пример расчёта для линейно клиновидного сечения $EI(x)=E{I}_0(1+\alpha x/L)$, или (в) предложить схему FEM для численного поиска собственных значений.